|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Not really hard questions from Germany: Part1
ช่วงที่ยังคิด USAMO ไม่ออก ลองมาคิดปัญหาทีไม่ค่อยยากนักแก้เซ็งจากทางยุโรปกันดีกว่า หากไม่เข้าใจคำแปลโจทย์ตรงไหน โจทย์ง่ายไปอยากได้ยากกว่านี้ หรืออื่นๆ ถามได้ครับ
1. The integers a have the properties, that 3a can be expressed in the form \(x^2+2y^2\) with integers x,y. Show that a can also expressed in this form. (Aufgabe 2., Bundeswettbewerb 2005 Runde 1.) 2. The lengths a,b,c of a triangle are integers. One of the height of this triangle is the sum of its rest two heights. Show that \(a^2+b^2+c^2\) is a square. (Aufgabe 2., Bundeswettbewerb 2004 Runde 1.) And the last question this round... 3. ธนาคารสำหรับนักคณิตศาสตร์แห่งหนึ่งออกเลขบัญชีให้ลูกค้าเป็นเลขสิบหลัก ลูกค้าส่วนมากมีความเห็นพ้องและต้องการตรงกันว่าอยากให้เลขบัญชีแต่ละหลักเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นธนาคารจึงดำเนินการออกเลขบัญชี และยังทราบอีกว่านักคณิตศาสตร์ใจลอยเป็นบางครั้งบางคราวและสับสนกับตัวเลข ดังนั้นเลขบัญชีสองบัญชีใดจึงควรต่างกันอย่างน้อยห้าหลัก จงแสดงว่า ธนาคารออกบัญชีดังกล่าวได้อย่างมากที่สุด 2404 บัญชี (Aufgabeblatt 41, 3.Aufgabe, Mathematischer Korrespondenzzirkel Göttingen) ไว้ว่างๆจะมาโพสต์โจทย์เพิ่ม และคำตอบครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 25 เมษายน 2005 00:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#2
|
||||
|
||||
ข้อ 1 ก่อนนะครับ
ให้ x2 บ n mod 3 จะได้ว่า 2y2 บ -n mod 3 เนื่องจาก x2 บ 0,1 mod 3 และ 2y2 บ 0,2 mod 3 จะได้ว่า n=0 ให้ 3p=x และ 3q=y จะได้ว่า a=3p2+6q2=(3p2+4q2)+2q2 ให้ p=2q จะได้ว่า a=16q2+2q2=(4q)2+2q2 ทำให้ได้ว่า a สามารถเขียนให้อยู่ในรูป a=m2+2n2 ได้ |
#3
|
|||
|
|||
สำหรับข้อ 2. ครับ
กำหนดให้ a,b,c เป็นด้านตรงข้ามมุม A,B,C ของสามเหลี่ยม และ ha, hbและ hc เป็นส่วนสูงที่ลากมาตั้งฉากกับ a,b,c ตามลำดับ ถ้า ha =hb +hc ตามที่โจทย์บอก และเพราะ sin(B)=\(\huge\frac{h_{a}}{c}=\frac{h_{c}}{a} \) ,sin(C)=\(\huge\frac{h_{a}}{b}=\frac{h_{b}}{a} \) ดังนั้น sin(B)+sin(C)= \(\large h_{a}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \)=\( \huge \frac{h_{b}+h_{c}}{a} \) แต่ ha =hb +hc เมื่อแทนค่าในสมการบรรทัดก่อน และจัดรูปใหม่ จะได้ a= \(\large \frac{bc}{b+c} \) เพราะฉะนั้น a2+b2+c2=\(\large \frac{b^{2}c^{2}}{(b+c)^{2}} +b^{2}+c^{2} =\frac{(b^{2}+bc+c^{2})^{2}}{(b+c)^{2}}=(b+c-a)^{2}\)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#4
|
||||
|
||||
น้อง gools ครับ พี่ว่าน้องลืมคิดกรณี \(x\equiv1\ mod\ 3\), \(y\equiv-1\ mod\ 3\) หรือกลับกัน (เพราะ \(2\equiv-1\) ใน congruence modulo 3) แต่หลังจากนั้นก็อย่างที่น้องทำมาแหละครับ
ข้อนี้อาจทำได้อีกแบบ โดยเริ่มจาก \(3(a-y^2)=x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) แล้วคิดในทำนองเดียวกับที่น้องคิดแหละครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#5
|
|||
|
|||
ข้อ 2. ครับ
สมมติว่า \( \Large{ h_a,h_b,h_c } \) เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยมที่ลากไปตั้งฉากด้าน a,b,c ตามลำดับ ดังนั้นโดยสูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะได้ว่า \[ \Large{ ah_a = bh_b = ch_c } \] โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่า \( \Large{ h_a = h_b + h_c } \) ดังนั้นจะได้ความสัมพันธ์ \[ \Large{ 1 = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} } \] ซึ่งจะได้ว่า bc = ab + ac ดังนั้น \[ \Large{ a^2 + b^2 + c^2 = (-a+b+c)^2 } \] อ้าวมีคนตอบซะแหล่ว
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 24 เมษายน 2005 23:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#6
|
||||
|
||||
ข้อสองคิดแบบคุณ nooonuii ง่ายที่สุดครับ ข้อนี้อาจคิดโดยใช้ทฤษฎีบทของ Pythagoras ช่วยก็ได้ครับ แต่วิธีทำจะซับซ้อนยุ่งยากกว่านี้หน่อย
เอารางวัลไปอีกสามข้อละกันครับ 4. ให้ k เป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนนับ a เรียกว่า k-typisch เมื่อตัวประกอบทุกตัวของ a หารด้วย k ได้เศษเป็น 1 จงแสดงว่า a) เมื่อจำนวนตัวประกอบของจำนวนเต็มบวก n (รวม 1 และ n) k-typisch จะได้ว่า \(n=b^k\) เมื่อ b เป็นจำนวนเต็ม b) บทกลับของ a) ไม่เป็นจริงเมื่อ k มากกว่า 2 (Aufgabe 2, Bundeswettbewerb 2004 Runde 2.) 5. Show that there are infinite different pairs (x,y) of positive rational numbers, for which \(\sqrt{x^2+y^3}\) and \(\sqrt{x^3+y^2}\) are rational. (Aufgabe 4, Bundeswettbewerb 2004 Runde 2.) 6. ให้ n,n+1,...,n+5 เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามีจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหารของเลขเพียงตัวเดียวจากเลขชุดนี้ (Aufgabe 1, Bundeswettbewerb 2003 Runde 1.)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 25 เมษายน 2005 00:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#7
|
|||
|
|||
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 25 เมษายน 2005 03:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#8
|
||||
|
||||
Upps! สงสัยโจทย์โหดเกินไป งั้นให้คำใบ้นิดหน่อยดีกว่า แล้วหากผ่านไปนานๆยังไม่มีใครคิดออก จะมา Post เฉลยครับ
3. เริ่มจาก เลขหกหลักแรกของสองบัญชีใดต้องไม่ตรงกัน ... 4. ให้ \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{k_i}\) และ d(n) เป็นจำนวนตัวหารของ n แล้วหา d(n) 5. ให้ y=kx หรือ ยกตัวอย่างลำดับที่สอดคล้องเงื่อนไข 6. mod 5 เรามาทดสอบดูกันดีกว่า ว่าเข้าใจ Euklid's Algorithm กับ ห.ร.ม. กันดีแค่ไหนนะครับ สองข้อนี้เจอกับตัวตอนเข้ากลุ่มแบบฝึกหัด เห็นเฉลยตอนท้ายแทบบ้า (ทำไมตอนคิดเองคิดไม่ออก...) 7.1 เริ่มจาก (1,0) เราป้อนคู่อันดับนี้เข้ากล่องดำสามใบ(ไม่จำเป็นต้องตามลำดับ) โดยที่ Machine่ A: \((m,n)\mapsto(n,m)\) Machine่ ฺB: \((m,n)\mapsto(m,m+n)\) Machine่ ฺC: \((m,n)\mapsto(m,m-n)\) เราสามารถสร้าง (13,39) และ (19,99) จากกล่องทั้งสามใบได้หรือไม่ เพราะเหตุใด ใบ้: อย่าคิดลึกครับ 7.2 (ข้อนี้ที่จริงแค่คำนวณตรงๆ แต่เทคนิคในการคิดในบางขั้นตอนน่าสนใจ เลยเอาลองมาให้ทำดู) Let \(a_n:=n^3+3\). True or false: \((a_n,a_{n+1})=1\).
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#9
|
|||
|
|||
ข้อ 7.1 ให้สังเกตดังนี้ครับ
1. ไม่ว่าจะ process ด้วย machine ใด สิ่งหนึ่งที่ไม่เคยเปลี่ยนคือ ห.ร.ม. เพราะ gcd(m, n) = gcd(n, m) = gcd(m, m + n) = gcd(m, m - n) จากข้อสังเกตนี้อย่างเดียวเราก็สามารถสรุปได้แล้วว่า เราไม่สามารถสร้าง (13, 39) จาก (1, 0) ได้เพราะ gcd(1, 0) = 1 น 13 = gcd(13, 39) 2. machine A เป็น inverse ของตัวมันเอง ส่วน machine B กับ C เป็น inverse ของกันและกัน ดังนั้นถ้าเราสามารถสร้าง (a, b) จาก (c, d) ได้ เราก็จะสามารถสร้าง (c, d) จาก (a, b) ได้เช่นกัน 3. machine A กับ C สามารถใช้ในการคำนวณหา gcd(m, n) ได้ตามหลักของ Euclid's algorithm จากข้อสังเกตทั้ง 3 เราจึงสรุปได้ว่าเราสามารถสร้าง (a, b) จาก (c, d) ได้ก็ต่อเมื่อ gcd(a, b) = gcd(c, d) เช่น ถ้าเราอยากรู้ว่าจะสร้าง (19, 99) จาก (1, 0) อย่างไร ก็เริ่มจากการคิดวิธีแปลง (19, 99) เป็น (1, 0) ด้วย machine A กับ C ตามหลักของ Euclid's algorithm ก่อน เสร็จแล้วก็คิดย้อนกลับครับ คิดลึกไปไหมเนี่ย |
#10
|
||||
|
||||
คำตอบข้อ 7.1 ของคุณ warut ถูกต้องครบถ้วนแล้วครับ (get กว่าตอนที่เขาเฉลยในห้องซะอีก ) คงไม่ต้องเพิ่มอะไรอีกแล้ว
ส่วนข้อ 7.2 หากว่างๆจะลองคิดก็ได้ครับ เพราะเทคนิคที่ว่าไม่ได้มีอะไรมากเลย
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#11
|
|||
|
|||
แต่ผมเห็นที่ผิดของตัวเองแล้วล่ะ ข้อสังเกตที่ 2 และ 3 ของผมยังไม่ถูกต้องสมบูรณ์ครับ และการแปลงจริงๆก็ยุ่งยากกว่าที่คิดมาก เพราะไม่มี process ที่แปลง (m, n) เป็น (n, m - n) ได้โดยตรง เลยยังหาคำอธิบายที่ดีๆไม่ได้เลยครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
probability questions?? | suan123 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 5 | 26 เมษายน 2007 09:56 |
Hard Inequalities from Mathlinks Contest | gools | อสมการ | 1 | 11 ธันวาคม 2005 06:46 |
A very hard inequality | Punk | อสมการ | 13 | 17 เมษายน 2005 01:39 |
5 maths scholarships from university of Munich, germany ! | <boky> | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 19 มิถุนายน 2001 20:10 |
|
|