ขอถามโจทย์กับ linear หน่อยครับ >_<

[ธี ชาร้อน]

ครือ อาจารย์ให้ การบ้านมา ทำผม งงมาก ไม่ค่อยเข้าใจ เลย

เลยอยากให้พวกพี่ๆ ช่วยอธิบาย+วิธีทำ ให้หน่อยน่ะครับ

1. W1 และ W2 เป็นสับสเปชของเวกเตอร์ V ให้ W1+W2 ;= {w1+w2 : w1 \in W1, w2 \in W2}
จงแสดงว่า W1+W2 เป็นสับสเปชของเวกเตอร์ V

2. จงพิจารณาว่า เซต S= \left\{\,\right. (1,1,2),(2,2,0),(3,4,-1)\left.\,\right\} เป็นฐานของ R(3) หรือไม่ และถ้าเป็น จงเขียนเวกเตอร์ v = (2,1,3) \in R(3) ให้อยู่ในรูปการรวมเชิงเส้นของเซต S

ปล. เข้าใจว่า S แรกเป็น ฐานของ R3 แต่จะเขียน เวกเตอร์ V ที่อยู่ใน R(3) ยังไง?

3. สมมุติให้เซต {\alpha1,\alpha2,...\alpham} (ที่เขียนข้างๆ a เป็นตัวห้อยน่ะครับ เขียนไม่เป็น >_<) เป็นฐานของสับสเปช S แล้วจงพิสูจน์ว่าเซต {\alpha1,\alpha1+\alpha2,\alpha1+\alpha2+\alpha3,...,\alpha1+\alpha2+...+\alpham} เป็นฐานของสับสเปช S

ปล. ไม่เข้าใจเลยครับ =/\=

4. จงหาฐานของสับสเปช W \in R(3) ซึ่งสเปนโดยเซต S= {(1,2,2),(3,2,1),(11,10,7),(7,6,4)} และจงหา dim(W)

ปล. เข้าใจว่า S ไม่เป็นฐาน แต่จะเลือกสมาชิกตัวอื่นที่เป็นฐานโดยตัดออกไปตัว แต่ไม่รู้ว่าตัดยังไงและต้องกี่ตัว dim ใช้ในการนับสมาชิกที่อยู่ใน เซต จะต้องเลือกทั้งหมดเซตที่ฐานเลยหรือเปล่า? ครับ (ครือไม่เก่งอธิบายนะครับ)

5. ให้ A เป็น non-singular เมตริกซ์ขนาด 3x3 จงพิสูจน์ว่าถ้าเซต S1 ={v1,v2,v3} เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน R (ห้อย 3x1) แล้ว S2={Avห้อย1,Avห้อย2,Avห้อย3} จะเป็นเซตอิสระเชิงเส้นด้วย นอกจากนี้ ยกตัวอย่างเมตริกซ์ A ที่เป็น singular ซึ่งทำให้ S2 เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้น

ปล. ไม่รู้เรื่องยิ่งกว่า 3 O_o

ขอร้องละครับช่วยผมหน่อยน่ะครับ _/\_ แบบว่าถามเพื่อนๆ ก็ยัง งงๆ กันอยู่เลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ธี ชาร้อน

คือ อาจารย์ให้ การบ้านมา ทำผม งงมาก ไม่ค่อยเข้าใจ เลย

เลยอยากให้พวกพี่ๆ ช่วยอธิบาย+วิธีทำ ให้หน่อยน่ะครับ

1. $W_1$ และ $W_2$ เป็นสับสเปชของเวกเตอร์ $V$ ให้ $W_1+W_2= \{w_1+w_2 : w_1 \in W_1, w_2 \in W_2\}$
จงแสดงว่า $W_1+W_2$ เป็นสับสเปชของเวกเตอร์ $V$

2. จงพิจารณาว่า เซต $S= \left\{\,\right. (1,1,2),(2,2,0),(3,4,-1)\left.\,\right\}$ เป็นฐานของ $\mathbb{R}^3$ หรือไม่ และถ้าเป็น จงเขียนเวกเตอร์ $v = (2,1,3) \in \mathbb{R}^3$ ให้อยู่ในรูปการรวมเชิงเส้นของเซต $S$

ปล. เข้าใจว่า $S$ แรกเป็น ฐานของ $\mathbb{R}^3$ แต่จะเขียน เวกเตอร์ $v$ ที่อยู่ใน $\mathbb{R}^3$ ยังไง ?

3. สมมุติให้เซต $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}$ เป็นฐานของสับสเปช $S$ แล้วจงพิสูจน์ว่าเซต
$\{\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,...,\alpha_1+\alpha_2+...+
\alpha_m\}$ เป็นฐานของสับสเปช $S$

4. จงหาฐานของสับสเปช $W\in\mathbb{R}^3$ ซึ่งสเปนโดยเซต $S= \{(1,2,2),(3,2,1),(11,10,7),(7,6,4)\}$ และจงหา $dim(W)$

ปล. เข้าใจว่า S ไม่เป็นฐาน แต่จะเลือกสมาชิกตัวอื่นที่เป็นฐานโดยตัดออกไปตัว แต่ไม่รู้ว่าตัดยังไงและต้องกี่ตัว dim ใช้ในการนับสมาชิกที่อยู่ใน เซต จะต้องเลือกทั้งหมดเซตที่ฐานเลยหรือเปล่า? ครับ (คือไม่เก่งอธิบายนะครับ)

5. ให้ $A$ เป็น non-singular เมตริกซ์ขนาด $3\times 3$ จงพิสูจน์ว่าถ้าเซต $S_1 =\{v_1,v_2,v_3\}$ เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน $\mathbb{R}_{3\times 1}$ แล้ว $S_2=\{Av_1,Av_2,Av_3\}$ จะเป็นเซตอิสระเชิงเส้นด้วย นอกจากนี้ ยกตัวอย่างเมตริกซ์ $A$ ที่เป็น singular ซึ่งทำให้ $S_2$ เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้น

โจทย์พวกนี้ผมเรียกว่าโจทย์เช็คนิยามครับ เวลาทำโจทย์ให้เริ่มจากดูว่าโจทย์ถามให้ทำอะไรเราก็เอานิยามมาเขียนไว้แล้วทำตามที่นิยามบอก

ถ้าทำกันหลายคนก็ลองมานั่งคุยกันสิครับว่านิยามเขาสื่อถึงอะไร คุยกันหลายคนคงได้คำตอบ

[ธี ชาร้อน]

ครือ ไปถามเพื่อน เพื่อนดันฝากควางหวังไว้ที่เราอีก TT__TT (เพื่อนแสนดีมากๆ) โดยส่วนตัวผมไม่ค่อยชอบนิยาม เลยน่ะครับ ช่วยอธิบายให้เก็ทที่เถอะครับ T_T

[nooonuii]

Hint:

1. ทำตามนิยามของ subspace ทุกอย่าง

2. สมมติว่า $(2,1,3)=a(1,1,2)+b(2,2,0)+c(3,4,-1)$ แล้วแก้ระบบสมการหาค่า $a,b,c$

3. ทำตามนิยามของ basis

4. ให้ $S_1=\{(1,2,2)\}$

$S_2=\{(1,2,2),(3,2,1)\}$

$S_3=\{(1,2,2),(3,2,1),(11,10,7)\}$

$S_4=\{(1,2,2),(3,2,1),(7,6,4)\}$

ลองพิสูจน์ว่า $S_1,S_2$ เป็น independent set

ต่อไปก็ลองดูว่า $S_3$ เป็น independent set หรือไม่

ถ้าใช่ $S_3$ จะเป็น basis ของ $W$

ถ้าไม่ใช่ให้พิจารณาต่อว่า $S_4$ เป็น independent set หรือไม่

ถ้าใช่ $S_4$ จะเป็น basis ของ $W$

แต่ถ้าไม่ใช่ $S_2$ จะเป็น basis ของ $W$

5. ลองทำตามนิยามของ independent set ว่าจะต้องเขียนอะไร จากนั้นเอา $A^{-1}$ คูณตลอด

แล้วก็ใช้การเป็น independent set ของ $S_1$