สงสัยการสลับ diff กับ integral ครับ

[noppadon7]

ผมหาข้อมูลจากเว็บนี้มาครับ แต่ว่าอยากได้ Reference ของ Theorem นี้ครับ

Let $X$ be an open subset of $\mathbb{R}$, and $Y$ be a measure space.

Suppose that a function $f:X\times Y\rightarrow \mathbb{R}$ satisfies the following conditions:

1.$f(x,y)$ is a measurable function of $x$ and $y$ jointly, and is integrable over $y$, for almost all $x\in X$ held fixed.

2.For almost all $y\in Y, f(x,y)$ is an absolutely continuous function of $x$. (This guarantees that $\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)$ exist almost everywhere.)

3. $\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)$ is locally integrable. That is, for all compact intervals $[a,b]$ contained in $X$
$$\int_{a}^{b}\int_Y|\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)|dydx<\infty$$

Then $\int_Yf(x,y)dy$ is absolutely continuous function of $X$, and for almost every $x\in X$, its derivative exists and is given by
$$\frac{d}{dx}\int_Yf(x,y)dy=\int_Y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy$$

ผมพิมพ์มาจากเว็บนี้นะครับ Theorem 3
http://planetmath.org/Differentiatio...egralSign.html
เนื่องจากผมต้องใช้สมบัติดังกล่าว พยายามหาแล้วครับแต่หาไม่เจอจริงๆ ช่วยหน่อยนะครับ

[nooonuii]

มีอยู่สองชื่อครับ ลองหาดูว่าอันไหนตรงตามที่หามา

Fubini's Theorem

Tonelli's Theorem

คิดว่าเป็นอันแรก

[noppadon7]

2 Theorem นี้ใช้สลับ integral กับ integral ไม่ใช่เหรอครับ

[noppadon7]

ส่วนใหญ่ที่ผมหาเจอจะเป็นของ Leibniz แต่ว่าเงื่อนไขมันไม่ตรงกับที่ต้องการครับ

[nooonuii]

ขออภัยครับ เข้าใจผิด