Interpolation ครับ

[Yuranan]

Prove that if $g$ interpolates the function $f$ at $x_0,x_1,...,x_{n-1}$ and if $h$ interpolates $f$ at $x_1,x_2,...,x_n,$ then the function $$g(x)+\frac{x_0-x}{x_n-x_0}[g(x)-h(x)]$$
interpolates $f$ at $x_0,x_1,...,x_n.$ Notice that $h$ and $g$ need not be polynomials.

[passer-by]

ใช้ 2 บรรทัดล่างประกอบกัน ก็พิสูจน์ได้แล้วครับ

$ g(x) = f(x) $ สำหรับ $x= x_0,x_1,...,x_{n-1}$

$ h(x) = f(x) $ สำหรับ $x= x_1,x_2,...,x_n$

[Yuranan]

ขอบคุณครับ คุณ passer-by แต่ผมยังอยากรู้ที่มาของสมการนี้อ่ะครับ และถ้า $g$ interpolates the function $f$ at $x_0,x_1,...,x_{n-2}$ และ $h$ interpolates $f$ at $x_2,x_3,...,x_n$ ยังจะสามารถหา function ที่ interpolates $f$ at $x_0,x_1,...,x_n$ ได้ไหมครับ

[passer-by]

ลองเสนอวิธีดูนะครับ แต่ไม่รู้ work หรือเปล่า

ให้ Interpolation function $ F(x) = L(x)g(x) + M(x)h(x)$ (เสมือนว่า g,h ถูก weight ด้วย L,M)

จากโจทย์ original จะได้ L,M ต้องสอดคล้องกับ

(i) $ L(x_0)=1 \,\, , M(x_0) =0 $

(ii) $ L(x_n)=0 \,\, , M(x_n) =1 $

(iii) $ L(x_i)+ M(x_i) =1 \,\, \forall i=1,2,..,n-1 $

ลองหา linear function L,M ที่สอดคล้องกับ (i) ,(ii) (Easy to find) ซึ่งจะพบว่าสอดคล้องกับ (iii)

คำนวณเสร็จแล้วจะได้ $F(x) $ตรงกับที่โจทย์ให้ proof

คราวนี้ ก็ลองเอา concept นี้ไป apply กับที่น้องถามมา โดยเขียนเลียนแบบคล้ายๆ 3 เงื่อนไขที่ผมให้ไว้ กลายเป็น

(i) $ L(x_0)=L(x_1)= 1 \,\, , M(x_0) = M(x_1)=0 $

(ii) $ L(x_{n-1})=L(x_n)=0 \,\, , M(x_{n-1})=M(x_n) =1 $

(iii) $ L(x_i)+ M(x_i) =1 \,\, \forall i=2,..,n-2 $

แต่คราวนี้มันจะได้ weight L,M เป็น cubic polynomials ที่สอดคล้องกับ (i),(ii) เพียงแต่ผมยังไม่ได้ทดว่า มัน work กับเงื่อนไข (iii) หรือเปล่า ผมก็เลยบอกไปในตอนต้นว่า เป็นแค่ "ข้อเสนอ"

Note: วิธีหา L ดูที่ (ii) ก่อน จะได้ $ L(x) = (A)(x-x_{n-1})(x-x_n)$ โดย A เป็น linear function

ส่วนถ้าอยากรู้ว่า A เป็นเท่าไหร่ ก็ลองเอา (i) มาคิดครับ

[Yuranan]

ผมกลับมาลองคิดดูครับ จาก $g(x)=h(x)$ โดยที่ $x_1,x_2,...,x_{n-1}$ และทั้ง $f$ และ $h$ มีดีกรี n-1 จึงให้ function ที่ต้องการเป็น $$q(x)=g(x)+(ax+b)(g(x)-h(x))$$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ จะได้ว่า $q(x)=g(x)=h(x)$ โดยที่ $x_1,x_2,...,x_{n-1}$ พิจารณา $q(x_0)=g(x_0)$ จึงได้ $ax_0+b=0$ ...1) และ $q(x_n)=h(x_n)$ จึงได้ $ax_n+b=-1$ ...2) แก้สมการจาก 1 และ 2 จึงได้ function ตามที่ต้องการ ส่วนคำถามถัดมาก็ทำแบบเดียวกันแต่ก็จะใช้ Vandermonde matrix ครับโดยผมให้ $$q(x)=g(x)+(ax^3+bx^2+cx+d)(g(x)-h(x))$$โดยผมต้องแก้ $$\bmatrix{x^3_0 & x^2_0 & x_0 & 1 \\ x^3_1 & x^2_1 & x_1 & 1 \\ x^3_n & x^2_n & x_n & 1 \\ x^3_{n-1} & x^2_{n-1} & x_{n-1} & 1}\bmatrix{a \\ b \\ c \\ d}=\bmatrix{0 \\ 0 \\ -1 \\ -1}$$ สมการนี้สามารถหาคำตอบได้เพราะ $x_0,x_1,...,x_n$ มีค่าแตกต่างกันหมดครับ ไม่ทราบว่าผมคิดแบบนี้ได้ไหมครับคุณ passer-by

[passer-by]

วิธีนี้ถูกแล้วครับ

และจริงๆ ผมว่าปลายทางของวิธีผมกับวิธีคุณ Yuranan น่าจะจบที่คำตอบเดียวกันด้วย เพียงแต่ represent ต่างกัน

[Yuranan]

ขอขอบคุณ คุณ passer-by มากครับ