ผลรวมของเลขโดด

[BLACK-Dragon]

จงหาผลรวมของเลขโดด $4444^{4444}$

[จูกัดเหลียง]

คือ ผมอ่านจาก PUTNAM มาครับ (ยังไม่ค่อยเข้าใจเพราะเเค่คล้ายๆกัน)
ถ้าให้ $f(n)$ เเทนผลรวมของเลขโดดทั้งหมดของ $n$ จะได้ว่า $1\cdot (1+n\log n)\le f(n)\le 9\cdot (1+n\log n)$
เพราะฉะนั้น $16,000<f(4444^{4444})<160,000$
เเละใช้ $n\equiv f(n)\pmod {99999}$ $$4444^{4444}\equiv(4444^{2})^{2222}\equiv (49333)^{2222}\equiv 52252\pmod {99999}$$
ซึ่งจำนวนเต็มมี $2$ จำนวนที่สอดคล้อง คือ $99999\pm52252=47747,152251$
ซึ่งผมว่าน่าจะ $152,251$ เพราะจาก PUTNAM $f(f(f(n)))=7$

[artty60]

$S(S(S...S(4444^{4444})...))=7$

$4444\equiv 7\,\,\,(mod9)$

$4444^{4444}\equiv 7\,\,(mod9)$

$S(4444^{4444})=[(4444+3)\times 9]+7$

$\quad\quad\quad=40030$

ไม่ทราบคำตอบตรงกับเฉลยมั๊ย ถ้าไม่ตรงก็ลืมมันไปเลยครับ

แต่ถ้าตรงค่อยมาอธิบายเพิ่ม

วิธีนี้ผิดแล้วล่ะครับดูเหมือนค่าที่ได้จริงมากกว่านี้เกือบเท่าตัว ที่ถูกคงเป็น72601