|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Functional Equation
Given a function $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$. Show that there exist
(a) infinitely many functions $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ that $$ \forall x\in \mathbb{R} ,\left(f\left(x\right)\right)^{2}=\left(g\left(x\right)\right)^{2}$$. (b) exactly two functions $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ that $$ \forall x,y\in \mathbb{R} ,f\left(x\right)f\left(y\right)=g\left(x\right)g\left(y\right)$$.
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#2
|
||||
|
||||
ควรค่าแก่กาลเวลา และกาลเทศะ...
(a) เห็นได้ชัด (b) อันดับแรกเราแทน $y=x$ เป็นจำนวนจริงใดใดซะก่อน ทีนี้เราจะได้ว่า ทุก $x \in \mathbb{R}$, $\left|f\left(x\right)\right| =\left|g\left(x\right)\right|$ เนื่องจาก $g\left(x\right) \not= 0$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$ ดังนั้น $f\left(x\right) \not= 0$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$ ด้วย ต่อไปพิจาณา $f\left(0\right)$ กรณีที่๑ ถ้า $sgn\left(f\left(0\right)\right)=sgn\left(g\left(0\right)\right)$ แทนลงในสมการหลักด้วย $\left(x,y\right)$ เป็น $\left(x,0\right)$ สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ใดใด ดังนั้น $f\left(x\right) \equiv g\left(x\right)$ กรณีที่๒ ถ้า $sgn\left(f\left(0\right)\right)=-sgn\left(g\left(0\right)\right)$ จะได้ว่า $f\left(x\right) \equiv -g\left(x\right)$ ในนัยกลับกัน นำสองฟังก์ชันนี้กลับไปแทน จะได้ว่าฟังก์ชันทั้งสองสอดคล้อง ดังนั้น มีสองฟังก์ชันพอดีที่สอดคล้อง
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
hard functional equation | dektep | พีชคณิต | 6 | 14 เมษายน 2016 17:48 |
Equation Like Pell's Equation | Anonymous314 | ทฤษฎีจำนวน | 11 | 07 มกราคม 2009 00:26 |
Functional Equation Problem | RoSe-JoKer | พีชคณิต | 18 | 17 พฤษภาคม 2008 12:39 |
IMO;Functional Equation | The jumpers | พีชคณิต | 4 | 12 พฤษภาคม 2008 14:43 |
Functional Equation | dektep | พีชคณิต | 14 | 14 มีนาคม 2008 11:35 |
|
|