|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
FE mini marathon
Find all function $f$ such that $f:R\rightarrow R$ satisfying $$f(x+f(y))+2f(xy)=f(x+y)+xf(y)+yf(x)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#2
|
||||
|
||||
$f(x+f(y))+2f(xy)=f(x+y)+xf(y)+yf(x) ...(1)$
สลับตัวแปรได้ $f(x+f(y)) = f(y+f(x)) ...(2)$ ถ้า $f(0) \not= 0$ แทน $y=0$ ใน (1) และใช้ (2) ได้ $f(f(x))+2f(0) = f(x)+xf(0) ...(3)$ ให้ $f(x)=f(y)$ จะได้ $f(f(x))+2f(0) = f(f(y))+2f(0)$ $f(x)+xf(0) = f(y)+yf(0)$ $x=y$ ดังนั้น $f : 1-1$ จาก(2)ได้ $x+f(y) = y+f(x)$ แทน $y=0$ ได้ $f(x) = x+f(0)$ ตรวจสอบพบว่าไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น $f(0)=0$ จาก (3) ได้ $f(f(x))=f(x)$ แทน $y=f(y)$ ใน(1) $f(x+f(y))+2f(xf(y)) = f(x+f(y))+xf(y)+f(x)f(y)$ $2f(xf(y)) = xf(y)+f(x)f(y)$ แทน $x=1$ ได้ $2f(f(y)) = f(y)+f(1)f(y)$ $f(y) = f(1)f(y)$ ถ้า $f(x)=0$ ทุก $x$ จะเห็นว่าเป็นคำตอบ ถ้ามี $a \in \mathbb{R} $ ที่ $f(a)\not= 0$ แทน $y=a$ ได้ $f(1)=1$ แทน $y=1$ ใน (1) $f(x+1)+2f(x) = f(x+1)+x+f(x)$ $f(x) = x$ ตรวจสอบพบว่าเป็นคำตอบ ดังนั้น $f(x) = 0$ หรือ $f(x) = x$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 18 กรกฎาคม 2015 19:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง |
#3
|
||||
|
||||
ครับ ตั้งต่อเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
แฟนพันธุ์แท้ คณิตศาสตร์ Marathon | nooonuii | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 318 | 01 ตุลาคม 2021 21:29 |
marathon:ม.ปลาย | กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 565 | 05 ธันวาคม 2011 19:04 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Marathon - มัธยมต้น | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 254 | 08 สิงหาคม 2010 20:47 |
Marathon ##วิทย์คำนวณ## | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 24 | 13 พฤษภาคม 2010 21:19 |
|
|