โจทย์หาสมการวงกลมครับ

[น้องเจมส์]

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (3,-2) และสัมผัสกับเส้นตรง 2x-y=0

[TU Gifted Math#10]

วงกลมสัมผัสกับเส้นตรง แสดงว่า วงกลมกับเส้นตรงตัดกันจุดเดียว
ให้ $r$ เป็นรัศมีวงกลม ดังนั้นได้สมการวงกลมเป็น $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$
เนื่องจากตัดกันจุดเดียวดังนั้น ระบบสมการ $$(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$$ และ $$2x-y=0$$ มี 1 solution
แทน $y=2x$ จากสมการที่สองลงในสมการแรก ได้ว่า $$(x-3)^2+(2x+2)^2=r^2$$ หรือกระจายออกมาได้เป็น $$5x^2+2x+(13-r^2)=0$$ เราต้องการให้มีเพียง 1 solution ดังนั้น ค่า discriminant = 0 หรือ $$2^2=4(5)(13-r^2)$$ หรือ $$r^2=\frac{64}{5}$$ ดังนั้นสมการวงกลมเป็น $$\boxed{(x-3)^2+(y+2)^2=\frac{64}{5}}$$

[น้องเจมส์]

discriminant คือ อะไรหรือครับ
แล้วมีวิธีแบบอื่นอีกไหมครับ

ผมเรียนอยู่ ป.6 เลยไม่เข้าใจ discriminant
ขอบคุณครับ

[coke]

รากพหุนามกำลังสองคือ$ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $ discriminant คือ $ \sqrt{b^2-4ac}$

[น้องเจมส์]

เป็นสูตรเลยใช่ไหมครับ

เข้าใจแล้ว คือ ค่า b^2-4ac มีค่าต่ำสุด เป็น 0
เพราะฉะนั้น b^2 = 4ac
โดยที่ a คือ สปส.ของ x^2
b คือ สปส.ของ x
c คือ ค่าคงที่
แบบนี้ใช่ไหมครับ

[yellow]

$r = \frac{|2(3)-(-2)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2} } = \frac{8}{\sqrt{5} } $

$r^2 = \frac{64}{5}$

สมการวงกลม

$(x-3)^2+ (y+2)^2 = \frac{64}{5}$

[น้องเจมส์]

ได้เคล็ดลับวิชาเพิ่มมาอีกหนึ่งแล้วครับ

ขอบคุณครับที่เอื้อเฟื้อเด็กน้อยอย่างผม