|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ข้อสอบคัดเลือกผู้แทนศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยเรศวร พ.ศ. 2555
ได้ไปเที่ยวค่ายที่ ม.นเรศวร มาครับ ได้เห็นโจทย์เลยจำมาฝากครับ )
Number Theory 1. จงแสดงว่ามีจำนวนนับ $n$ เป็นอนันต์ตัวที่ทำให้ $1444...443$ (มี $4$ อยู่ $n$ ตัว) เป็นพหุคูณของ $1443$ 2. ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$ จงแสดงว่า ถ้า $m\phi (m)=n\phi (n)$ แล้ว $m=n$ Combinatorics 1. จงหาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากเซต ${0,1,2,...,9}$ ไปยังเซต ${1,2,3,4}$ 2. มีจุด $10$ จุดอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ $1$ หน่วย จงแสดงว่า ก) มี $2$ จุดที่ห่างกันไม่เกิน $\frac{\sqrt{2}}{3} $ หน่วย ข) มี $3$ ที่อยู่ภายในบริเวณวงกลมรัศมี $\frac{1}{2}$ หน่วย Inequality 1. จงหาค่า $K$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $$\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\leqslant K(a^2+b^2+c^2)^2 $$ สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c$ ใดๆ 2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\frac{1}{a\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{8}{bc}}}+\frac{1}{b\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{8}{ca}}}+\frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{ 8}{ab}}}\geqslant 1$$ Geometry (มีข้อเดียวเพราะอีกข้อโจทย์ผิด) 1. สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านขนานกันเป็นคู่ๆ และเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดที่สมนัยกันตัดกันที่จุดเดียว จงพิสูจน์ว่า เส้นออยเลอร์ (Euler line) ของสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะขนานกัน (อย่าเพิ่งใช้ Homothety นะครับ ลองทำแบบเนื้อหา สอวน. ดู ) ) ถ้าจำได้อีกจะมาลงนะครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 01 เมษายน 2012 13:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#2
|
||||
|
||||
รังนกถ้าดูโจทย์หนังสือ โลกคอมบินาทอริก ทำได้แน่นอนครับเหมือนกันเลย
คอมบิข้อ1เหมือนโจท์เก่า กทม เลยครับ 01 เมษายน 2012 13:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#3
|
||||
|
||||
อสมการคราวนี้โหดจริงๆครับเอา IMO ปี 2006 มาออกนี่สุดๆอ่ะครับ
คือถ้ามันเป็นจริงบวกจะดีในมาก ข้อ 2 เปลี่ยน a เป็น $\dfrac{1}{x}$ แล้วอัด Holder+Schur ก็ออกครับ หรือ Homogeneous ก็ได้ครับ 01 เมษายน 2012 17:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BLACK-Dragon |
#4
|
||||
|
||||
NT ข้อแรกเอา Idea มาจาก TMO 7 วันแรก ครับ
ส่วนข้อที่สองก็เอา Ideaมาจาก Shortlist TMO 8 ครับ ) ข้อสองพิจารณาจำนวนเฉพาะตัวที่มากที่สุดของ m กับ n ให้ดีๆครับ 01 เมษายน 2012 19:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
คือผมว่าโจทย์ข้อนี้คือต้องการให้เราทำให้ที่เขาให้มาเป็น จริงบวกก่อนแล้วใช้ AM-GM ครับ เพราะตอนนี้ที่เรามีเลยและใช้ได้คือ Cauchy เท่านั้นแต่ก็ไปได้ไม่ไกล เราต้องพิสูจน์ว่า $$[(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]^2 \leq K^2(a^2+b^2+c^2)^4$$ ให้ $x=a-b,y=b-c,z=a+b+c$ เราจะได้ $c-a=x+y,a^2+b^2+c^2= \dfrac{1}{3}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)$ และเราจะได้ว่า $$\left(\,xyz(x+y)\right) ^2 \leq \dfrac{K^2}{81}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)^4= \dfrac{K^2}{81}(z^2+2(x^2+y^2+xy))^4$$จากตรงนี้เราสามารถใช้ AM-GM ได้แล้วเพราะว่า $x^2,y^2,z^2 $ เป็นบวกแล้ว จากนั้นเราคิดแค่พจน์ $x,y$ ก่อนเพราะ $z$ เดี๋ยวค่อย Weight เอาก็ได้ (ตรงนี้คือที่มาได้ในห้องสอบ) และผมก็ลองใช้ Wolfram พิสูจน์ดูว่า $$\left(\,\dfrac{xy(x+y)}{2}\right) ^2 \leq \left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 $$ จริงหรือไม่ (ลองไปกดดูละกันครับ) และได้ว่าจริง $$x^2y^2(x+y)^2 \leq 4\left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 \cdot z^2 = \dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 $$ โดย Weight AM-GM จะได้ว่า $$\dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 \leq \dfrac{1}{162}\left(\,\dfrac{3x^2+3y^2+3(x+y)^2+3z^2}{4}\right)^4= \dfrac{1}{512}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2) $$ จับไปเท่ากันจะได้ $K= \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$ |
#6
|
||||
|
||||
สุดยอดครับ ปีนี้ขอใหได้เข้า สสวท นะครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 01 เมษายน 2012 19:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#7
|
||||
|
||||
สูงไปไหมเนี่ยพี่อาร์ท
ถึงทำได้ตอนนี้คะแนนคงไม่เพิ่มขึ้นหรอกครับ 55555 ยังไม่รู้ว่าจะติดหรือเปล่าเลยค่าย 3 อ่ะครับ พึ่งเจอน่าจะดูก่อนไปสอบ เฉลยของเขาบอกไว้อย่างงี้ครับ WLOG . suppose $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc$ $\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|= |(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|$ Then inequality desired takes the form $$\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2} \leq k(1-2q)^2$$ LHS. L satisfies $$L=\sqrt{-27\left(\,r-\dfrac{9q-2}{27}\right)^2+\dfrac{4(1-3q)^3}{27}} \leq \sqrt{\dfrac{4(1-3q)^3}{27}}$$ Thus , we need to maximize the function $$f(q)=\dfrac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}$$ Differentiating this function gives $$f'(q)=\dfrac{-(6q+1)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^3}$$ The equation $f'(d)=0$ gives $q= -\dfrac{1}{6},q=\dfrac{1}{3}$ . It follows that $$f(q) \leq f(-\dfrac{1}{6})=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$$ for all $q \leq \dfrac{1}{3} $ |
#8
|
||||
|
||||
#7 เก่งขนาดนี้ ถ้ามน.ไม่เลือกก็คงต้องเสียใจภายหลังเเหละครับ 555
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#9
|
||||
|
||||
มาอยู่ที่ค่าย สสวท เป็นเพื่อนหน่อยครับ เหงา 555
ว่าแต่ใครจำโจทย์ข้อไหนได้อีกก็ช่วยโพสต์ด้วยครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#10
|
||||
|
||||
ข้อ 2 NT ถ้าเราใช้ว่า $p\rightarrow q \equiv \sim q\rightarrow \sim p $ เเล้วมันเหมือนจะได้เลยอ่ะครับเหมือนจะบรรทัดเดียวจบ แต่ผมไม่ได้ใช้วิธีนี้นะ เพราะไม่หล้ามันสั้นไป 555
__________________
Vouloir c'est pouvoir 01 เมษายน 2012 21:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#11
|
|||
|
|||
ศูนย์นี้โหดแฮะใช้ข้อสอบโอลิมปิกทั้งนั้นเลย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#12
|
||||
|
||||
ลองแสดงให้ดูหน่อยครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#13
|
||||
|
||||
ที่ผมดูส่วนใหญ่ก็จะเป็นพวกข้อสอบระดับชาติอ่ะครับ โดยเฉพาะ Functional Equation
แต่ Algebra ไม่ยากมากครับ มีข้อนึงเคยเป็นข้อสอบคัดตัวแทนเก่าในค่ายตอน 2 ปีที่แล้วด้วยครับ ที่พูดมาจำโจทย์ไม่ได้ TT
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#14
|
||||
|
||||
#12 เราก็สมมุติให้ $m\not=n\rightarrow m\phi (m)\not=n\phi (n)$ ซึ่งเห็นได้ชัดเเล้วว่าไม่เท่า (มั้งครับ) 555
__________________
Vouloir c'est pouvoir 02 เมษายน 2012 06:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#15
|
||||
|
||||
อยากได้เฉลยข้อ 2 ทฤษฎีจำนวนอ่ะครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ข้อสอบ สพฐ 2555 (รอบแรก) เป็นไงกันมั่งครับ | polsk133 | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 161 | 11 มกราคม 2014 22:31 |
ข้อสอบโครงการช้างเผือก21/01/2555 | TiMReSz | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 76 | 03 มีนาคม 2012 23:47 |
ขอรายละเอียดเกี่ยวกับการสอบ สพฐ. ในวันอาทิตย์ 29 มกราคม 2555 | ~ToucHUp~ | ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น | 5 | 27 มกราคม 2012 21:34 |
การสอบ พสวท. รอบ2 ของปี2555 | PanTA | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 4 | 21 มกราคม 2012 12:22 |
การรับตรงเข้ามหาวิทยาลัยที่จะใช้ในปี 2555 | หยินหยาง | ฟรีสไตล์ | 4 | 03 มีนาคม 2011 21:50 |
|
|