|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
With a+b+c=1...hard or easy?
โจทย์แต่งเองขอรัีบ ถ้ามันง่ายจนน่าตกใจก้อขอประทานอภัยด้วยครับ
Let $a,b,c>0$ and $a+b+c=1$ $$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ส่วน solution ผมจะเอามาลงวันหลังนะครับ (พอดีไม่ค่อยมีเวลาพิมพ์หนะครับ) 04 มิถุนายน 2009 20:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หยินหยาง |
#3
|
||||
|
||||
เงื่อนไขเป็น
$a+b+c=3\sqrt{3}$ นะครับถึงจะจริง
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#4
|
||||
|
||||
ผมคิดว่า เงื่อนไข $a+b+c=1$ น่าจะถูกแล้วนะครับ (แต่ยังไงก็ช่วย check solution ให้ด้วยละักันนะครับ)
$my$ $solution$ จาก $a+b\geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ จะได้ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}\leq \sum_{cyc}\dfrac{2}{a^2+b^2}$ ต่อไปจะแสดงว่า $\sum_{cyc}\dfrac{2}{a^2+b^2}\leq\sum_{cyc} \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$ $\Leftrightarrow$ $8\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^2+b^2}\leq\sum_{cyc} \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$ $\Leftrightarrow$ $ 8\dfrac{\sum_{cyc}a^4+3\sum_{cyc}a^2b^2}{\sum_{sym}a^4b^2+2a^2b^2c^2}\leq\ \dfrac{\sum_{cyc}a^4+3\sum_{cyc}a^2b^2}{(\sum_{cyc}a^2b^2)^2}$ $\Leftrightarrow$ $ 8{(\sum_{cyc}a^2b^2)^2}\leq\ (\sum_{cyc}a)^2({\sum_{sym}a^4b^2+2a^2b^2c^2})$ $\Leftrightarrow$ $ 6\sum_{cyc}a^4b^4+12\sum_{cyc}a^4b^2c^2$ $\leq\ \sum_{sym}a^6b^2+2\sum_{sym}a^5b^3+2\sum_{sym}a^5b^2c+2\sum_{sym}a^4bc^3+4\sum_{cyc}a^3b^3c^2 $ $\Leftrightarrow$ $ 0 \leq\ (\sum_{sym}a^6b^2+2\sum_{sym}a^5b^3-6\sum_{cyc}a^4b^4)$ $+2(\sum_{sym}a^5b^2c+\sum_{sym}a^4bc^3+2\sum_{cyc}a^3b^3c^2-6\sum_{cyc}a^4b^2c^2)$ โดยอสมการสุดท้ายเป็นจริงจาก muirhead (ก้อนซ้าย) และ AM-GM (ก้อนขวา) ถ้าผิดพลาดในส่วนไหนก็โปรดชี้แนะด้วยนะครับ 06 มิถุนายน 2009 11:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หยินหยาง |
#5
|
||||
|
||||
ผมผิดเองครับตรงที่เน้นไว้ผมไม่ได้ยกกำลังสองตรงก้อน $(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$...
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#6
|
|||
|
|||
$\sum_{cyc}\dfrac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2} หมายความว่า frac{1}{(a+b-\sqrt{ab})^2}+frac{1}{(b+a-\sqrt{ba})^2}รึปล่าวครับไม่ค่อยมั่นใจครับ$
__________________
ปีหน้าฟ้าใหม่ จัดกันได้ที่ค่ายฟิสิกส์ 07 มิถุนายน 2009 20:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Platootod |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Easy but nice | Let it be | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 10 | 20 มกราคม 2009 11:48 |
easy | Soopreecha | Calculus and Analysis | 1 | 11 ธันวาคม 2008 17:53 |
very easy! | tatari/nightmare | เรขาคณิต | 5 | 26 มิถุนายน 2008 20:15 |
Easy Or Not | Uranus Hunter | อสมการ | 4 | 25 มิถุนายน 2008 00:55 |
HArd Or EAsy? | tatari/nightmare | อสมการ | 3 | 17 พฤษภาคม 2008 08:41 |
|
|