#1
|
||||
|
||||
Subgroup of A4
Show that $A_4$ has no subgroup of order 6.
|
#2
|
|||
|
|||
สมมติว่า มี subgroup ดังกล่าว เรียกว่า $H$
group ที่มีขนาด $6$ มีเพียงสองแบบเท่านั้นคือ group ที่ isomorphic กับ $\mathbb{Z}_6$ หรือ $S_3$ แต่เนื่องจาก $S_4$ ไม่มีสมาชิกที่มีขนาดเท่ากับ $6$ จึงเป็นไปได้อย่างเดียวว่า $H$ จะต้อง isomorphic กับ $S_3$ ซึ่งจะทำให้เราได้ว่า $H$ จะต้องมีสมาชิกที่มีขนาด $2$ ทั้งหมด $3$ ตัว(ตามคุณสมบัติของ $S_3$) เราทราบว่าสมาชิกที่มีขนาด $2$ ทั้งหมดใน $A_4$ คือ $(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)$ ดังนั้นสมาชิกทั้งสามตัวนี้เป็นสมาชิกใน $H$ นอกจากนี้ $H$ ยังมีสมาชิกที่มีขนาด $3$ อีกสองตัวซึ่งอยู่ในรูป $(a\,b\,c), (a\,c\,b)$ เพราะสองตัวนี้จะเป็นตัวผกผันของกันและกัน แต่เราทราบว่า $(c\,d)(a\, b)(a\,b\,c)=(b\,c\,d)$ ซึ่งเป็นสมาชิกอีกตัวที่แตกต่างจากสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ใน $H$ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่ $H$ จะเป็น group ที่มีขนาด $6$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
subgroup & normal subgroup | mercedesbenz | พีชคณิต | 36 | 17 กันยายน 2007 22:10 |
Abstract algebra (subgroup) | mercedesbenz | พีชคณิต | 3 | 15 มิถุนายน 2007 21:10 |
|
|