|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ
ในกระทู้นี้ผมจะเอาปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ มาทยอยลงให้เพื่อนๆ ลองคิด และทยอยเฉลยให้ด้วย
คิดว่าโจทย์ส่วนใหญ่ไม่น่าจะซ้ำกับที่เคยเห็นในหนังสือทั่วไป และคิดว่ายังไม่มีใครโพสต์ไว้ ??? ถ้าใครคุ้นๆ ว่าเคยมีคนอื่นโพสต์ไว้ก่อนแล้ว ก็ช่วยแจ้งผมด้วยครับ จะได้ไม่ต้องลงซ้ำกัน ... เรามาเริ่มต้นข้อแรกกันเลย (จะลงทั้งโจทย์ภาษาอังกฤษต้นฉบับ และคำแปลไทยเท่าที่ผมพอจะแปลให้ได้) --------------------------------------------------------------------------------------- Problem 1: It is required to find four affirmative integer numbers, such that the sum of every two of them shall be a cube. ปัญหาข้อ 1: จงหาจำนวนเต็มบวกสี่จำนวน ซึ่งผลบวกของสองจำนวนใดๆ อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสาม --------------------------------------------------------------------------------------- คุณ warut ลองหาชุดตัวเลขที่น้อยที่สุดจาก computer search ดูหน่อยซิครับ ผมอยากรู้ว่าที่คนเฉลยคุยไว้ว่า ตัวเลขชุดที่เขาคำนวณได้น่าจะเป็นคำตอบที่เล็กสุดแล้ว จริงหรือเปล่า ? .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#2
|
||||
|
||||
ระหว่างรอคุณ warut แจ้งผล computer search ... ผมแวะมาให้คำตอบไว้ก่อน
จำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวน ที่ได้จากการคำนวณ (ซึ่งคิดว่าเล็กที่สุดแล้ว ?) คือ 2,080,913,082,956,455,142,636 4,937,801,347,510,680,732,948 7,262,810,476,410,016,163,052 214,972,108,693,241,589,340,948 เหลือเชื่อไหมครับว่า มีคนที่คำนวณคำตอบชุดนี้ไว้เมื่อประมาณ 120 ปีมาแล้ว ... ผมลองใช้ Excel ช่วยตรวจสอบข้อมูล ปรากฎว่า Error เพราะตัวเลขใหญ่เกินไป เลยต้องใช้โปรแกรมเฉพาะทางด้านคณิตศาสตร์ ซึ่งตรวจสอบแล้ว คำตอบนี้ถูกต้อง คือผลบวกทุกสองจำนวนอยู่ในรูปจำนวนเต็มกำลังสาม แต่ยังไม่รู้ว่าคำตอบเล็กที่สุดหรือยัง คงต้องรอคุณ warut ช่วย comfirm ?
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 11 พฤษภาคม 2007 11:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#3
|
||||
|
||||
ผมเคยใช้ delphi เขียนโปรแกรมคำนวญเล่นเช่น หาจำนวนมิตรภาพ เลขยกกำลังเป็นต้น หาก input เลขเหล่านี้ไป
เวลารันมันจะบอกว่า error ทันที หรือไม่ก็ไม่สามารถแสดง output ที่เป็น integer มากขนาดนี้ได้ในการคำนวณ(loop error) ผมยอมรับว่าคนที่คิดได้สุดยอดจริงๆคับ
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#4
|
||||
|
||||
ผมจะเริ่มพิมพ์เฉลยข้อแรกให้เพื่อนผู้รักคณิตศาสตร์ได้อ่านกัน ...
แต่เนื่องจากขั้นตอนการคำนวณยุ่งยากซับซ้อนพอสมควร คงต้องเฉลยกันยาวซักหน่อย ผมอาจจะพิมพ์ให้อ่านบางส่วนก่อน แล้วค่อยเข้ามาเพิ่มเติมเรื่อยๆ จนจบข้อ มาดูกันครับว่า ตัวเลขผลลัพธ์ความยาวตั้ง 22 ถึง 24 หลักที่ให้ไว้นั้น คำนวณมาได้อย่างไร :-) .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#5
|
||||
|
||||
เฉลยปัญหาข้อ 1 ... คิดค้นโดย Abijah McLean ปี 1888 (~ 120 ปีก่อน)
Problem 1:
It is required to find four affirmative integer numbers, such that the sum of every two of them shall be a cube. ปัญหาข้อ 1: จงหาจำนวนเต็มบวกสี่จำนวน ซึ่งผลบวกของสองจำนวนใดๆ อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสาม วิธีทำ เราเริ่มต้นด้วยการสมมติให้จำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวน คือ $P\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right),\;\;Q\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 - y^3 + z^3 } \right),$ $R\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - x^3 + y^3 + z^3 } \right),\;\;S\; = \;v^3 - {\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)$ ซึ่งจะพบว่า $P + Q\; = \;x^3 ,\;\;P + R\; = \;y^3 ,\;\;Q + R\; = \;z^3 ,\;\;P + S\; = \;v^3$ ตอนนี้เราได้ 4 ใน 6 คู่ของผลบวกทีละสองจำนวนที่อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสามแล้ว สมมติให้ $Q + S\; = \;v^3 - y^3 + z^3 \; = \;w^3$ จัดรูปได้เป็น $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3$ สมมติให้ $R + S\; = \;v^3 - x^3 + z^3 \; = \;u^3$ จัดรูปได้เป็น $v^3 + z^3 \; = \;u^3 + x^3$ นั่นคือเราต้องแก้ระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$ เพื่อหา $v,\;x,\;y,\;z$ ออกมา เรามาเริ่มแก้สมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3$ กันก่อน แทน $v\; = \;a + b,\;\;z\; = \;a - b,\;\;w\; = \;c + d,\;\;y\; = \;c - d$ จะได้ $a(a^2 + 3b^2 )\; = \;c(c^2 + 3d^2 )$ สมมติให้ $a\; = \;3np + 3mq,\;\;b\; = \;mp - 3nq,\;\;c\; = \;3nr + 3ms,\;\;d\; = \;mr - 3ns$ เมื่อแทนค่าในสมการ แล้วจัดรูปจะได้ $(np + mq)(p^2 + 3q^2 )\; = \;(nr + ms)(r^2 + 3s^2 )$ นั่นคือ $m:n\; = \;r(r^2 + 3s^2 ) - p(p^2 + 3q^2 ):q(p^2 + 3q^2 ) - s(r^2 + 3s^2 )$ เมื่อเราให้ $m\; = \;r(r^2 + 3s^2 ) - p(p^2 + 3q^2 )$ จะได้ $n\; = \;q(p^2 + 3q^2 ) - s(r^2 + 3s^2 )$ ดังนั้น $a\; = \;3np + 3mq\; = \;(3rq - 3ps)(r^2 + 3s^2 )$ $b\; = \;mp - 3nq\; = \;(pr + 3qs)(r^2 + 3s^2 ) - (p^2 + 3q^2 )^2$ $c\; = \;3nr + 3ms\; = \;(3rq - 3ps)(p^2 + 3q^2 )$ $d\; = \;mr - 3ns\; = \;(r^2 + 3s^2 )^2 - (pr + 3qs)(p^2 + 3q^2 )$ ตอนนี้เราก็แทนค่าหา $v\; = \;a + b,\;\;z\; = \;a - b,\;\;w\; = \;c + d,\;\;y\; = \;c - d$ ได้แล้ว เราลองเลือก $p,\;q,\;r,\;s$ ที่ทำให้ $v,\;z,\;w,\;y$ เป็นค่าบวก โดยเริ่มจาก $0$ ไล่ขึ้นไปเรื่อยๆ จะพบผลลัพธ์แรกที่ต้องการเมื่อ $p\; = \;6,\;\;q\; = \;14,\;\;r\; = \;7,\;\;s\; = \;14$ ซึ่งจะได้ $v\; = \;13 \times 2976,\;\;z\; = \;13 \times 1140,\;\;w\; = \;13 \times 2989,\;\;y\; = \;13 \times 1043$ หารด้วย $13$ ก็จะได้ $2976^3 + 1140^3 \; = \;2989^3 + 1043^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$ คราวนี้เราต้องแก้สมการส่วนที่เหลือคือ $u^3 + x^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$ ซึ่งโจทย์ที่เราแก้คือการแบ่ง $13 \times 3613$ ให้เป็นผลบวกของกำลังสามสองตัว เนื่องจาก $13 \times 3613$ เป็นจำนวนคี่ สมมติให้ ${\textstyle{1 \over 2}}(f + g)^3 + {\textstyle{1 \over 2}}(f - g)^3 \; = \;3 \times 3613$ จัดรูปให้เรียบร้อยจะได้ $f(f^2 + 3g^2 )\; = \;4 \times 3 \times 3613$ แต่ว่า $3613$ เป็นจำนวนเฉพาะ และเห็นชัดอยู่แล้วว่าต้องมากกว่า $f$ เมื่อ $f$ เป็นจำนวนเต็มก็ต้องเป็นตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งจาก $1,\;2,\;4,\;13,\;23,\;52$ จากการทดสอบพบคำตอบ คือ $f\; = \;13,\;\;g\; = \;69,\;\;{\textstyle{1 \over 2}}(f + g)\; = \;41,\;\;{\textstyle{1 \over 2}}(f - g)\; = \; - 28$ นั่นคือ $41^3 - 28^3 \; = \;3 \times 3613$ ซึ่งอยู่ในรูปของผลต่างของกำลังสามสองตัว แปลงเป็นผลบวกโดยใช้เอกลักษณ์ $a^3 - b^3 \; = \;\left( {{{a(a^3 - 2b^3 )} \over {a^3 + b^3 }}} \right)^3 + \left( {{{b(2a^3 - b^3 )} \over {a^3 + b^3 }}} \right)^3 $ เมื่อแทนค่า $a\; = \;41,\;\;b\; = \; - 28$ จะได้ $\left( {{{1081640} \over {30291}}} \right)^3 + \left( {{{341899} \over {30291}}} \right)^3 \; = \;13 \times 3613$ ดังนั้นจึงได้ว่า $u^3 + x^3 \; = \;\left( {{{30285920} \over {10097}}} \right)^3 + \left( {{{9573172} \over {10097}}} \right)^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$ เราได้คำตอบของระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$ คือ $2976^3 + 1140^3 \; = \;2989^3 + 1043^3 \; = \;\left( {{{30285920} \over {10097}}} \right)^3 + \left( {{{9573172} \over {10097}}} \right)^3 $ ทำการคูณด้วยตัวคูณเพื่อแปลงให้เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด จะได้ $v\; = \;60571840,\;\;x\; = \;23021160,\;\;y\; = \;21062342,\;\;z\; = \;19146344$ นำไปแทนค่าหาจำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวนที่โจทย์ต้องการ คือ $P\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)\; = \;{\rm 7,262,810,476,410,016,163,052}$ $Q\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 - y^3 + z^3 } \right)\; = \;{\rm 4,937,801,347,510,680,732,948}$ $R\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - x^3 + y^3 + z^3 } \right)\; = \;{\rm 2,080,913,082,956,455,142,636}$ $S\; = \;v^3 - {\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)\; = \;{\rm 214,972,108,693,241,589,340,948}$ เฮ้อ...กว่าจะเฉลยจนจบได้ เป็นยังไงบ้างครับ ทึ่งกับวิธีแก้โจทย์ของคนสมัยก่อนหรือเปล่า ? .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 พฤษภาคม 2007 08:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 11 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#6
|
||||
|
||||
ผมเฉลยข้อแรกจบไปแล้ว ตอนนี้ขอโพสต์ปัญหาข้อที่สองให้คิดกันต่อ เผื่อว่าใครจะลองนั่งคิดเล่นแก้เหงา
----------------------------------------------------------------------------------------------- Problem 2: Find three integral numbers in arithmetical progression such that their common difference shall be a cube; the sum of any two, diminished by the third, a square; the sum of the roots of the required squares an 8th power; the first of the required squares, a 7th power, the second a 5th power, the third a biquadrate, and the mean of the three required numbers a square. ปัญหาข้อ 2: จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง ผลต่างร่วมต้องเป็นจำนวนยกกำลังสาม; ผลรวมทีละสองจำนวนลบด้วยจำนวนที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสอง; ผลรวมรากของจำนวนยกกำลังสองเหล่านี้เป็นจำนวนยกกำลังแปด; จำนวนยกกำลังสองตัวแรกเป็นจำนวนยกกำลังเจ็ด, ตัวที่สองเป็นจำนวนยกกำลังห้า, ตัวที่สามเป็นจำนวนยกกำลังสี่, และค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มทั้งสามจำนวนที่โจทย์ต้องการเป็นจำนวนยกกำลังสอง ----------------------------------------------------------------------------------------------- ไม่รู้ว่าโจทย์ที่มีเงื่อนไขซับซ้อนยุ่งยากแบบนี้ จะอาศัย computer search ได้หรือเปล่า ? ทิ้งโจทย์ไว้ให้ลองคิดซักพักก่อน แล้วผมค่อยมาโพสต์คำตอบให้ตรวจสอบกันอีกที :-) .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 พฤษภาคม 2007 01:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#7
|
||||
|
||||
ผมคิดว่าแค่เห็นเฉลยปัญหาข้อ 1 กับโจทย์ของปัญหาข้อ 2 ก็คงทำให้หลายคนถอดใจไปแล้ว
อยากบอกไว้ก่อนว่า โจทย์ดุสุดๆ ของชุดนี้คือปัญหาข้อ 23 ซึ่งแค่โจทย์ก็ปาเข้าไปเกือบครึ่งหน้ากระดาษแล้ว ในต้นฉบับภาษาอังกฤษ เขาใส่รูปหัวช้างไว้หน้าข้อนี้ด้วย ซึ่งปกติเราจะเคยเห็นตำราบางเล่มใส่เครื่องหมาย * เพื่อแสดงว่าข้อนั้นๆ เป็นโจทย์ระดับยาก (มีคนคิดออกไม่เยอะ) แต่ข้อ 23 ที่ว่านี้เขาใส่หัวช้างไว้เลย คิดดูละกันครับว่ามันจะโหดแค่ไหน ... :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 พฤษภาคม 2007 01:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#8
|
||||
|
||||
สุดยอดจริง ๆ ครับสำหรับวิธีแก้ปัญหาข้อ 1 ต้องอาศัยความพยายามและความอดทนอย่างสูงเลยทีเดียว
แล้วอย่างนี้ข้อ 23 ที่คุณ Switchgear พูดถึง (ขู่ )จะเป็นยังไงล่ะนี่... |
#9
|
||||
|
||||
ผมคิดว่า:
"คนที่อดทนอ่านเฉลยในกระทู้นี้ตั้งแต่ข้อ 1-22 จบแล้ว คงไม่หวั่นไหวกับข้อ 23 (ถ้ายังอดทนไหว)" จริงไหมครับ ? ...
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#10
|
||||
|
||||
สำหรับใครที่สนใจอ่านวิธีแก้ Diophantine Problems ด้วยฝีมือของปรมาจารย์ Euler
ให้ติดตามอ่านได้ในกระทู้ "จำนวนเต็ม 3 ตัวที่ผลบวกและผลต่างเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง" ซึ่งหากผมอดทนพอ ก็จะมีโจทย์พร้อมเฉลยจำนวน 17 ข้อ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#11
|
||||
|
||||
เพื่อให้เกียรติแก่เฉลยปัญหาข้อ 1 คือ Abijah McLean ผมขอนำข้อความชื่นชมท่านที่อยู่ในเอกสารชุดนี้มาให้อ่าน
The solution of problem 1 is by the late Abijah McLean, Esq., of New Lisbon, Ohio, who was very skillful in handling Diophantine Problems of great difficulty.
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ปัญหาข้อแรกนี้ตอนสมมติ $P, Q, R, S$ ไม่มีปัญหาอะไร น่าจะมาแนวทางนี้กันทุกคน แต่จะมาตายตรงแก้ระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$ นี่สิ คนที่นั่งแก้ต่อไปได้นี่ต้อง อาศัยความสามารถเฉพาะตัวเป็นอย่างมาก แต่ที่สำคัญกว่านั้น อะไรทำให้เขาเชื่อมั่นว่า ปัญหาข้อนี้มันมีคำตอบจริงๆ ตอนบ่าย ผมลองเขียนโปรแกรมขึ้นมาตรวจสอบแบบไล่ไปเรื่อยๆ จนบัดนี้ พบว่าจำนวนสี่ตัวที่น้อยกว่า 33,000,000 ยังไม่มีสมบัติที่ว่านี้สักชุด (ถ้าเขียนไม่ผิดนะครับ )
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#13
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ Top มากครับ ที่อุตส่าห์ช่วยเขียนโปรแกรมเช็คให้มั่นใจ ผมเองก็อยากรู้คำตอบเหมือนกันว่า
มีชุดคำตอบที่น้อยกว่านี้หรือเปล่า ? (คำตอบที่มากกว่านี้ มีอยู่ในเอกสารอยู่แล้ว ซึ่งไม่น่าสนใจ) ผมนับถือคนที่แก้โจทย์แบบนี้อย่างยิ่งครับ ... ถ้าเป็นผมเอง คงเลิกไปตั้งแต่ระบบสมการที่คุณ Top ว่าไว้นั่นแหละ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 14 พฤษภาคม 2007 09:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#14
|
||||
|
||||
แวะเข้ามาบอกคำตอบของปัญหาข้อ 2 เพื่อใช้ตรวจผลการคำนวณ (เผื่อใครคิดออกก่อน)
$1321 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$ $1681 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$ $2041 \cdot (41^7 \cdot 31^{10})^{144} \cdot (11^9 \cdot 5^4 \cdot 3^8 \cdot t^{12})^{140}$ ชุดตัวเลขจะง่ายสุดเมื่อให้ $t = 1$ ... นั่นคือเราหาชุดคำตอบจำนวนเต็มได้มากมายไม่รู้จบ โดยแทนค่า t ตามต้องการ .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 16 พฤษภาคม 2007 20:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#15
|
||||
|
||||
คำตอบของปัญหาข้อ 2 สงสัยว่าจะไม่มีใครอยากลองคิดตาม (ผมเองเห็นคำตอบแบบนี้ก็ท้อเหมือนกัน )
ผมจะรีบหาเวลามาเฉลยปัญหาข้อ 2 ว่าตัวเลขยุ่งๆ พวกนี้หามาได้ยังไง ... อย่าลืมติดตามอ่านนะครับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 23 พฤษภาคม 2007 06:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
|
|