|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Newton's Relation
ดูเหมือนห้องนี้จะมีหัวข้อน้อยที่สุดนะครับ
เพื่อให้ห้องนี้ไม่ดูร้างจนเกินไป ผมจึงนำบทความเก่าที่เคยเขียนไว้ในเสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ มาแยกส่วนเป็นหลายบทความ พร้อมกับแก้ไขข้อผิดพลาด วางไว้ในเว็บบอร์ดเพื่อให้สมาชิกทุกท่าน ได้ซักถามกันเองถึงข้อสงสัยต่างๆ บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง อนุกรมฮาร์มอนิก เคยเจอคำถามลักษณะนี้ไหมครับ กำหนดให้ $\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 & = & 2 \textrm{ และ } \\ x^3 + y^3 + z^3 & = & 3 \end{array}$ จงหาค่าของ $x^4 + y^4 + z^4$ หากใครมีพลังยุทธพอ น่าจะมองออกว่า $x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + xz +yz)$ $x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2) - (xy + xz + yz)(x + y + z) + 3xyz$ $x^4 + y^4 + z^4 = (x + y + z)(x^3 + y^3 + z^3) - (xy + xz + yz)(x^2 + y^2 + z^2) + (xyz)(x + y + z)$ จากนั้นก็ไล่แทนค่า หาค่า $xy + xz + yz , xyz$ ออกมา เพื่อใช้หา $x^4 + y^4 + z^4$ แต่ถ้าโจทย์เขาถามถึง $x^{10} + y^{10} + z^{10}$ ละ ยังจะมีพลังยุทธพอที่จะกระจายเทอมต่างๆออกมาอีกไหม หากใครทำไม่ได้ หรือต้องการรู้รูปแบบการกระจายเทอมต่างๆออกมา บทความนี้ช่วยท่านได้ Newton's Relation Newton's Relation หรือบางที่เรียกว่า Newton's Formula ดูจากชื่อคงรู้นะครับว่าใครเป็นคนคิด เป็นความสัมพันธ์แสดงความเชื่อมโยงระหว่าง ฟังก์ชันสมมาตรของรากคำตอบของสมการพหุนามใดๆ $f(S_k,P_k)$ ต่อจากนี้ไปจะเป็นการอธิบายถึงความสัมพันธ์ต่างๆ หากใครไม่อยากอ่านที่มาละก็ ลองอ่านข้อกำหนดแล้วข้ามไปดูสรุปและตัวอย่างการใช้งานได้ครับ กำหนดให้ $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n \in \mathbb{R}$ \[\begin{array}{rcl} S_k & = & \textrm{ ผลรวมของผลคูณของ } a_k \textrm{ จำนวน } k \textrm{ เทอม } \\ & = & \sum {\underbrace{a_{\alpha} a_{\beta} a_{\gamma} \cdots}_{k\ \textrm{เทอม}}},\, \alpha \not= \beta \not= \gamma \not= \cdots \\ P_k & = & a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k \end{array}\] จากข้อกำหนดดังกล่าว จึงได้ $S_0 = 1$ และ $P_0 = n$ พิจารณา \[\displaystyle{\begin{array}{rcl} & & (1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x) \\ & = & 1 + (a_1+a_2+\cdots+a_n)x + (a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)x^2 + \cdots \\ & & + (a_1a_2\cdots a_n)x^n \\ & = & S_0 + S_1x + S_2x^2 + \cdots + S_nx^n \end{array}}\] และ \[\displaystyle{\begin{array}{rcl} & & \displaystyle{\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}} \\ & = & (1 - a_1x + a_1^2x^2 - \cdots) + (1 - a_2x + a_2^2x^2 - \cdots) + \cdots \\ & & + (1 - a_nx + a_n^2x^2 - \cdots) \\ & = & P_0 - P_1x + P_2x^2 - P_3x^3 + \cdots \end{array}}\] จะพบว่า \[\begin{array}{rcl} & & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\ & = & (n - P_1x + P_2x^2 - P_3x^3 + \cdots)(1 + S_1x + S_2x^2 + \cdots + S_nx^n) \\ & = & n + (nS_1-P_1)x + (nS_2-S_1P_1+P_2)x^2 +(nS_3-S_2P_1+S_1P_2-P_3)x^3 + \cdots \\ & & + (nS_n - S_{n-1}P_1 + S_{n-2}P_2 - \cdots + (-1)^n P_n)x^n \end{array}\] นอกจากนี้ เราอาจมองผลลัพธ์ได้อีกแบบ โดยลองคูณกระจาย \[\begin{array}{rcl} & & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\ & = & [(1+a_2 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + [(1+a_1 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + \cdots \\ & & + [(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_{n-1} x)] \end{array}\] และสังเกตบางเทอมของ $x$ ยกตัวอย่างเช่น $a_1x$ จะพบว่ามีจำนวนเทอมที่ปรากฏเท่ากับจำนวนเทอมของ $a_2x$ และจะเท่ากับจำนวนเทอมที่ปรากฏของ $a_kx$ ใดๆด้วย ทำให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ สุดท้ายจริงๆมีค่าเป็น $m(a_1+a_2+\cdots+a_n)x = mS_1x$ หรือเป็นจำนวนเท่าที่เป็นจำนวนเต็มของ $S_1$ สิ่งนี้จะยังคงเป็นจริงสำหรับการสังเกตสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ ใดๆด้วย(เพราะมันมีความสมมาตรปรากฏอยู่) และเราจะพบว่ามันมีจำนวนเทอมที่เท่ากันเป็นจำนวน $n-k$ เทอมเสมอ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ จึงเป็น $(n-k)S_k$ นั่นเอง นั่นคือ \[\begin{array}{rcl} & & \displaystyle{\left[\frac{1}{1+a_1x} + \frac{1}{1+a_2x} + \cdots + \frac{1}{1+a_nx}\right]\left[(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_n x)\right]} \\ & = & [(1+a_2 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + [(1+a_1 x)(1+a_3 x)\cdots(1+a_n x)] + \cdots \\ & & + [(1+a_1 x)(1+a_2 x)\cdots(1+a_{n-1} x)] \\ & = & n + (n-1)S_1x + (n-2)S_2x^2 + \cdots + S_{n-1} x^{n-1} \end{array}\] โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ \[\begin{array}{rcl} nS_1 - P_1 & = & (n-1)S_1 \\ nS_2 - S_1P_1 + P_2 & = & (n-2)S_2 \\ nS_3 - S_2P_1 + S_1P_2 - P_3 & = & (n-3)S_3 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \cdots & \cdots \cdots \cdots \\ nS_{n-1} - S_{n-2}P_1 + S_{n-3}P_2 - \cdots + (-1)^{n-1}P_{n-1} & = & (n - (n-1)) S_{n-1} \\ nS_n - S_{n-1}P_1 + S_{n-2}P_2 - \cdots + (-1)^n P_n & = & 0 \end{array}\] หรือ \[\begin{array}{rcl} P_1 & = & S_1 \\ P_2 & = & S_1P_1 - 2 S_2 \\ P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3 S_3 \\ \cdots & \cdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ P_{n-1} & = & S_1P_{n-2} - S_2P_{n-3} + \cdots + (-1)^{(n-2) + 1}S_{n-2}P_{1} + (-1)^{(n-1) + 1}(n-1)S_{n-1} \\ P_n & = & S_1P_{n-1} - S_2P_{n-2} + \cdots + (-1)^{(n-1)+1}S_{n-1}P_{1} + (-1)^{n+1} n S_n \end{array}\] เป็น Newton's Relation ใช้ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดในการหาค่า $P_m$ หรือ $S_m$ เมื่อ $m \leqslant n$ สำหรับการหาค่า $P_m$ เมื่อ $m > n$ จะใช้เทคนิคดังนี้ เนื่องจาก $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n$ เป็นรากคำตอบของสมการ $x^n - S_1x^{n-1} + S_2x^{n-2} - \cdots + (-1)^n S_n = 0$ คูณทั้งสองข้างด้วย $x^m$ จะได้ $x^{m+n} - S_1x^{m+n-1} + S_2x^{m+n-2} - \cdots + (-1)^n S_nx^m = 0$ แทนค่า $x$ ด้วย $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n$ แล้วจับมารวมกันทั้งหมด จะได้ $P_{m+n} - S_1P_{m+n-1} + S_2 P_{m+n-2} - \cdots + (-1)^nS_nP_m = 0$ นั่นคือ $P_{m+n} = S_1P_{m+n-1} - S_2 P_{m+n-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_m$ หรือเขียนในรูปทั่วไปเป็น $P_m = S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n}$ เมื่อ $m \geqslant n$ สรุป $P_m = \begin{cases} \left(\overbrace{S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{(m-1)+1}S_{m-1}P_{1}}^{m-1\ \textrm{เทอม}} \right) + (-1)^{m+1} m S_{m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\ \overbrace{S_1P_{m-1} - S_2P_{m-2} + \cdots + (-1)^{n+1} S_nP_{m-n}}^{n\ \textrm{เทอม}} & \textrm{ เมื่อ }m > n \end{cases}$ หรือ \[P_m = \begin{cases} \displaystyle{\sum_{i = 1}^{m - 1}(-1)^{i+1}S_i P_{m-i} + (-1)^{m+1} m S_m} & \textrm{ เมื่อ }m \leqslant n \\ \displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i+1} S_i P_{m-i}} & \textrm{ เมื่อ }m > n \end{cases}\] ตัวอย่าง 1 ถ้า $\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 & = & 2 \textrm{ และ } \\ x^3 + y^3 + z^3 & = & 3 \end{array}$ จงหาค่าของ $x^4 + y^4 + z^4$ เนื่องจากมี $3$ ตัวแปร ดังนั้น $n = 3$ และจะพบว่า $P_1 = 1 , P_2 = 2 , P_3 = 3$ จากสูตรของ Newton จะได้ $P_1 = S_1 \therefore S_1 = 1$ $P_2 = S_1P_1 - 2S_2 = 1 - 2S_2 \therefore S_2 = -\frac{1}{2}$ $P_3 = S_1P_2 - S_2P_1 + 3S_3 = 2 + \frac{1}{2} +3S_3 \therefore S_3 = \frac{1}{6}$ $P_4 = S_1P_3 - S_2P_2 + S_3P_1 = 3 + 1 + \frac{1}{6} \therefore P_4 = \frac{25}{6}$ จึงได้ $x^4 + y^4 + z^4 = \frac{25}{6}$ ตัวอย่าง 2 กำหนด $a, b, c$ เป็นจำนวนจริงและ $a , b , c \not= 0$ ถ้า $a + b + c = 0$ และ $a^5 + b^5 + c^5 = a^3 + b^3 + c^3$ จงหาค่าของ $a^2 + b^2 +c^2$ เนื่องจากมี $3$ ตัวแปร ดังนั้น $n = 3$ และเนื่องจาก $a + b + c = 0$ หรือ $P_1 = S_1 = 0$ จะได้ $\begin{array}{rcl} P_1 & = & S_1 = 0 \\ P_2 & = & S_1P_1 - 2S_2 = -2S_2 \therefore S_2 = -\frac{1}{2}P_2 \\ P_3 & = & S_1P_2 - S_2P_1 + 3S_3 = 3S_3 \therefore S_3 = \frac{1}{3}P_3 \\ P_4 & = & S_1P_3 - S_2P_2 + S_3P_1 = \frac{1}{2}P_2^2 \\ P_5 & = & S_1P_4 - S_2P_3 + S_3P_2 = \frac{1}{2}P_2P_3 + \frac{1}{3}P_2P_3 = \frac{5}{6}P_2P_3 \\ \text{หรือ}\ a^5 + b^5 + c^5 & = & \frac{5}{6} \left(a^2 + b^2 + c^2\right) \left(a^3 + b^3 + c^3\right) \\ \therefore a^2 + b^2 + c^2 & = & \frac{6}{5} \frac{a^5 + b^5 + c^5}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{6}{5} \end{array}$ แบบฝึกหัดประยุกต์
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 03 กุมภาพันธ์ 2008 22:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#2
|
||||
|
||||
ผมขอยกย่องพี่ TOP จริงๆครับที่สร้างสรรค์บทความดีๆมาให้ ผมอ่านได้ครึ่งหนึ่งแล้วครับอีกส่วนจะมาต่อให้จบ ขอบคุณครับ
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#3
|
||||
|
||||
ผมมาช้าไปหน่อยนะครับ แต่ยังไงก็ขอบคุณครับ
__________________
สถานะ อยู่เหนือ ความรู้สึก |
#4
|
||||
|
||||
ปริ๊นท์ไปอ่านโรงเรียนเลยก็ดีครับ ^^
|
#5
|
||||
|
||||
ผมไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่ครับ : ) แต่ก็จะพยายามครับ
__________________
สถานะ อยู่เหนือ ความรู้สึก |
#6
|
|||
|
|||
เป็นบทความที่เยี่ยมครับ ขอบคุณมาก
__________________
Mathematics: An art with logic. |
#7
|
||||
|
||||
ใช่แล้วครับเป็นบทความที่เยี่ยม
นอกจากคนเขียนจะความรู้ดีแล้ว ยังใจดีอีกด้วยครับ ขอเป็นกำลังใจให้คนเขียน มีบทความใหม่ๆ มานำเสนอ ตลอดทั้งปีใหม่นี้ครับ |
#8
|
|||
|
|||
ไม่ทราบว่าโจทย์ประเภท ตัวอย่างที่ 1 ที่ให้หา $x^4+y^4+z^4$ จะหาค่าของ $x,y,z$ อย่างไรครับ จะใช้การสมมุติให้เป็นรากของสมการ
$Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ ที่มีรากเป็นจำนวนจริง 1 ค่า และ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่เป็น conjugate กัน 1 คู่ คือ เช่นถ้า $x=k,y=l+im, z=l-im$ แล้วแก้สมการที่ได้จากการกระจายจากสมการเดิม $k+2m=P1=1, k^2+2(l^2+m^2)=P2=2,k^3+2m^3-6lm^2=P3=3$ ใช่ไหมครับ หรือมีวิธีอื่นที่ง่ายกว่า
__________________
ใช้เวลาว่างศึกษาคณิตเพื่อติวลูก นักเรียนศึกษานารี และทวีธาภิเศก http://www.facebook.com/bpataralertsiri คณิตมัธยมปลาย http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ |
#9
|
||||
|
||||
เป็นบทความที่ดีมากเลยครับ ผมได้ความรู้เพิ่มขึ้นเยอะเลย ขอบคุณมากครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Newton's method กับการแก้สมการ | Prisoners' Dilemma | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 7 | 18 มิถุนายน 2007 01:24 |
|
|