อสมการสามเหลี่ยม

RedfoX · #1 22 พฤศจิกายน 2006, 20:15

อยากได้ข้อมูลเกี่ยวกับอสมการสามเหลี่ยมครับ ว่ามีที่มาอย่างไร และมีการพิสูจน์อย่างไร
ปล.ขออสมการของโคชีด้วยก็ได้นะครับ เพราะผมอ่านเองไม่เคยเข้าใจเลย
ขอบคุณครับ

gon · #2 22 พฤศจิกายน 2006, 21:53

อสมการสามเหลี่ยมก็พิสูจน์ง่าย ๆโดยดูจากรูปไงครับ. วาดรูปสามเหลี่ยมมา 1 รูป จากนั้นดูที่ด้านประกอบทั้งสอง ถ้าเราค่อย ๆ บีบด้านประกอบทั้งสองลงบนฐาน จะเห็นว่าถ้านำด้านประกอบทั้งสองมารวมกัน จะต้องมากกว่าอีกด้านแน่นอน

ลองเอาไม้สองแท่งมาวางพิงบนพื้นแล้วลองค่อยๆกดลงพื้นก็จะเห็นชัดว่า มันจะต้องเหลื่อมกันมากขึ้น ตอนมันลงพื้น

อสมการโคชีเอาแบบ 2 มิติ ง่าย ๆ ก็
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
$= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$
แต่เพราะว่า $(ad - bc)^2 \ge 0$ แสดงว่า $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \ge (ac + bd)^2$ (เท่ากันเมื่อ $ad - bc = 0 , \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$)

RedfoX · #3 23 พฤศจิกายน 2006, 20:49

ขอบคุนครับ แต่รบกวนจะขอตัวอย่างการใช้ด้วยได้ไหมครับ ถ้าได้จะเป็นพระคุณอย่างยิ่ง

Mastermander · #4 23 พฤศจิกายน 2006, 22:14

A Geometric Proof of Cauchy's Inequality

http://www.bloggang.com/viewdiary.ph...ackham&group=4