#1
|
|||
|
|||
มาราธอน ค่าย 1
พี่อยู่ ม.5 เลยกลัวๆ ยังไงไม่รู้ (ปีสุดท้ายแล้ว) เลยมาช่วยกันหาโจทย์แล้วทำที่จะเข้าค่าย 1 กันดีกว่าเนอะ(เอาแค่ขอบเขคค่าย 1 นะ)
1. จงแก้สมการ $(x+1)^5+(x+1)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)^2+(x+1)^{2}(x-1)^{3}+(x+1)(x-1)^{4}+(x-1)^{5}=0 $ 2. จงหาค่าของ n ซึ่ง สอดคล้องกับสมการ $ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n}=4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} $ 3. $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}= 1$ จงหาค่าของ x 4. จงหา (x,y,z) จากระบบสมการ $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=a-1$ $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}=a+1$ |
#2
|
||||
|
||||
1. ให้$ A = x+1 , B = x-1$
จะได้ $(x+1)^5+(x+1)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)^2+(x+1)^{2}(x-1)^{3}+(x+1)(x-1)^{4}+(x-1)^{5}=0 : A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5 = 0$ $A^5+A^4B+A^3B^2+A^2B^3+AB^4+B^5 = 0$ $A^5+B^5+AB(A^3+B^3)+A^2B^2(A+B) = 0$ $(A+B)(A^4+A^2B^2+B^4) = 0$ $(A+B)(A^2-AB+B^2)(A^2+AB+B^2) = 0$ $(A+B)[(A+B)^2-3AB][(A+B)^2-AB] = 0 ........(1)$ $A+B = 2x แทน ใน (1) $ ได้ $(2x)(x^2+3)(3x^2+1) = 0$ $\therefore x = 0 $ 2. $ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n}=4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} $ จากผลบวกเรขาคณิต $ -2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-(-2)^{n} = \frac{(-1)[(-2)^{n+1} - 1]}{-3}$ $4^{0}+4^{1}+4^{2}+...+4^{2010} = \frac{1[4^{2011} -1]}{3}$ $\frac{(-1)[(-2)^{n+1} - 1]}{-3} = \frac{1[4^{2011} -1]}{3}$ $(-2)^{n+1} - 1 = 4^{2011} -1 $ $(-2)^{n+1} = 2^{4022} $ $\therefore n = 4021$ 24 สิงหาคม 2012 22:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
#3
|
||||
|
||||
3.$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}= 1$
$x^2+(4-\sqrt{3}x)^2 = x^2(4-\sqrt{3}x)^2 $ กระขายออกมาจัดรูป ได้$ 3x^4-8\sqrt{3}x^3+12x^2+8\sqrt{3}x-16 = 0$ $3x^4-2\sqrt{3}x^3-6\sqrt{3}x^3+12x^2+8\sqrt{3}x-16 = 0 $ $\sqrt{3}x^3(\sqrt{3}x -2)-6\sqrt{3}x^2(\sqrt{3}x-2)+8(\sqrt{3}x-2) = 0$ $(\sqrt{3}x-2)(\sqrt{3}x^3 -6\sqrt{3}x^2+8) = 0$ $(\sqrt{3}x^3 -6\sqrt{3}x^2+8)$ จะได้ ค่า x ที่ทำให้ $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}<1$ $\therefore x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ 4. ยังคิดไม่ออก แต่ รูปสมการมันสมมาตร น่าจะได้ $x= y=z$ เกิด $a = \frac{9}{2}$ |
#4
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
อยู่ ม.5 เหมือนกันครับรู้สึกกลัวๆเหมือนกัน |
#5
|
|||
|
|||
5. สามเหลี่ยม ABC ซึ่ง $BC=1,CA=2$ หา ค่ามากที่สุดของมุม A ที่เป็นไปได้
6. สามเหลี่ยม ABC มีส่วนสูง 10,12,15 จงหาความยาวทั้ง 3 ด้าน 7. 40! = _ _ _ _ _ 285981219105863630848 $\cdot 10^k$ จงหาเลข 5 หลักแรก 25 สิงหาคม 2012 14:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = $\frac{1}{2} \times BC \times 10 = \frac{1}{2} \times AC \times 12 = \frac{1}{2} \times AB \times 15 $ $10BC = 12AC = 15AB = 60k$ $BC = 6k, \ \ AC = 5k \ \ AB = 4k$ $BC:AC:AB = 6:5:4$ แล้วจะทำยังไงต่อดี ? ให้ $BC = 6m, \ \ AC = 5m \ \ AB = 4m$ ให้ CD = p โดยปิธากอรัส $(5m)^2 -p^2 = (4m)^2 - (6m-p)^2$ $p = \frac{15m}{4}$ สามเหลี่ยม ACD $(5m)^2 = 10^2 + ( \frac{15m}{4})^2$ $m^2 = \frac{64}{7} \ \ \to \ m = \frac{8\sqrt{7} }{7} $ $ 6m = \frac{48\sqrt{7} }{7} $หน่วย $5m = \frac{40\sqrt{7} }{7} $ หน่วย $4m = \frac{32\sqrt{7} }{7} $ หน่วย ความยาวรอบรูป = $\frac{120\sqrt{7} }{7} $ หน่วย พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = $\frac{1}{2} \times 10 \times \frac{48\sqrt{7} }{7} = \frac{240\sqrt{7} }{7} $ตารางหน่วย
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
พิจารณา $f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x}\rightarrow f^'(x)=\dfrac{x^2-3}{4x^2}$ ทำให้ $f^'(x)=0$ เกิดค่าวิกฤต $x=\sqrt{3}$ พบว่า $\cos \hat A=\dfrac{x^2+3}{4x}\ge \dfrac{\sqrt 3}{2}$ ดังนั้น $0<\hat A\le\dfrac{\pi}{6}$ หรือป่าวครับ ไม่เเน่ใจ 555+ ปล.ที่จริง AM-GM ง่ายกว่าเยอะมากครับ เเต่ไม่ได้ฉุกคิดเลย
__________________
Vouloir c'est pouvoir 29 สิงหาคม 2012 22:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#8
|
|||
|
|||
เย่ห์ มีคนมาตอบแล้ว 55555555555555
ถูกต้องครับ $x^2+3 \geq 2\sqrt{3} x$ ค่าน้อยสุดเมื่อ $x=\sqrt{3}$ ส่วนข้อแฟคทอเรียล ลองใช้ modulo นะครับ |
#9
|
||||
|
||||
ข้อ 4 $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงป่ะครับ เเล้วก็ข้อ 7 จะ mod ไงอ่ะครับ หา 5 ตัวเเรก
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#10
|
||||
|
||||
ผม คิดออกแค่ อาจจะ ใช้ $\rm mod 9 ,11$ แต่ มันก็ มีตั้งหลายแบบ ซึ่งผมก็ไปต่อไม่ได้
29 สิงหาคม 2012 22:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
#11
|
|||
|
|||
ข้อ 4 ก็จำนวนจริงครับ แต่ผมยังคิดไม่ออกเหมือนกัน แต่เฉลยในพีชคณิต (คิดทังชาติก็ไม่ได้) คิดเพื่อชาติเขาบอกว่า x=y=z เลยอ่ะครับ
ข้อนั้น ลองดูขั้นตอนการหารในตำรา สอวน ดูครับ 8. จงใช้การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการนับ พิสูจน์ว่า เส้นตรง n เส้นตัดกันได้อย่างมาก $\dfrac{n^2-n}{2}$ จงหาว่า วงกลม a วง กับ เส้นตรง b เส้นตัดกันได้อย่างมากที่สุดกี่จุด 30 สิงหาคม 2012 21:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th |
#12
|
||||
|
||||
8. คำตอบเป็นเเบบนี้ $2ab+\dbinom b 2 +a(a-1)$ หรือป่าวครับบ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 31 สิงหาคม 2012 19:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เส้นตรง 2 เส้น มีจุดตัด 1 จุด เส้นตรง 3 เส้น มีจุดตัด 1+2 จุด เส้นตรง 4 เส้น มีจุดตัด 1+2+3 จุด เส้นตรง 5 เส้น มีจุดตัด 1+2+3+4 จุด . . . เส้นตรง n เส้น มีจุดตัด 1+2+3+...+(n-1) จุด ผลรวมจุดตัด n เส้นเท่ากับ 1+2+3+...+(n-1) = $\frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2-n}{2} \ $Q.E.D. พิสูจน์แบบนี้ได้หรือเปล่าครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#14
|
||||
|
||||
#14 ผมว่าน่าจะได้ครับ เเต่เราสามารถเเสดงได้อีกว่า เส้นตรง $n$ เส้นตัดกันได้มากที่สุด $\dbinom n 2$ ก็คือการเลือกเส้น $2$ เส้นใดๆมาตัดกันจาก $n$ เส้นนั่นเอง
__________________
Vouloir c'est pouvoir 31 สิงหาคม 2012 19:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#15
|
|||
|
|||
#13 คำตอบถูกแล้วครับ
เราแยกนับเป็น วงกลมตัดวงกลมด้วยกันเอง เส้นตรงกับเส้นตรงตัดด้วยกันเอง และ เส้นตรงตัดกับวงกลม แล้วมากบวกกัน #14 แบบนั้นแหละครับบบบ ------------------------------------------------------------------------------ มาต่อดีกว่า (แข่งกับ my math problem collection 55555) 8. กำหนดให้ P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่ง $AP^2=BP^2+CP^2$ จงหาขนาดของ $B \hat {P} C$ 9.จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $x^2+y^2 = 5(x-y)$ 10. จงแก้สมการ $ x^{3}-3x^{2}-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}= 0 $ ------------------------------------------------------------------------------- Olympaid Corner 1. จงหาจำนวนจริง $(a,b)$ ทั้งหมดซึ่ง $a^2-b^2, a^3-b^3, a^5-b^5$ เป็นจำนวนตรรกยะ 2. $a,b,c \in \mathbf{R^{+}} , ab+bc+ca=3 $ จงพิสูจน์ $$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2} \geq \dfrac{3}{4}+\dfrac{3(a-1)(b-1)(c-1)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$$ |
|
|