|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Every group of order 15 is cyclic ?
ทุก ๆ กรุป ขนาด 15 จะเป็นกรุปวัฏจักร หรือเปล่าครับ คิดยังไงครับ ?
ป.ล. ผมเรียน Sylow Thm. แล้วครับ |
#2
|
|||
|
|||
ออกตัวก่อนว่า ตอนนี้ ผมไม่ค่อยได้จับงานทาง abstract algebra ดังนั้น ผมคงช่วยอะไรไม่ได้มาก นอกจากจะฝาก link 2 links นี้ ให้ลองอ่านดูนะครับ (ถ้ามีข้อสงสัยเพิ่มเติม อาจต้องถามสมาชิกท่านอื่นแล้วล่ะ)
PROOF(1) PROOF(2) p.s. ถ้าให้ prove ว่า ทุก proper subgroup ของ group ดังกล่าว เป็น cyclic จะง่ายกว่านี้มากๆเลยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#3
|
|||
|
|||
ถ้าเรียน Sylow's Theorem มาแล้วก็น่าจะอ่านวิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ได้ไม่ยากครับ
ถ้า $G$ เป็น group ที่มีขนาด $pq$ โดยที่ $p<q$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p\nmid q-1$ แล้ว $G$ จะเป็น cyclic group Let $H$ and $K$ be Sylow p-subgroup and Sylow q-subgroup respectively. By Sylow's Theorem, $H$ and $K$ are the only one Sylow $p$ and $q$ subgroups of $G$. Thus $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Note that $H$ and $K$ are cyclic groups and $H\cap K = \{e\}$. Let $a,b$ be generators of $H$ and $K$ respectively. Then $aba^{-1}b^{-1}\in H\cap K =\{e\}$. Thus $ab=ba$. This implies $(ab)^n=a^nb^n$ and hence $(ab)^n=e\Leftrightarrow pq\mid n$. Therefore, $ab$ has order $pq$ and hence $G$ is cyclic. มีวิธีพิสูจน์ความจริงอันนี้เยอะแยะขึ้นอยู่กับระดับความรู้ที่เรามีอยู่ครับ บ้างก็ใช้ Sylow's Theorem บ้างก็ใช้ Fundamental Theorem of Abelian Groups ถ้ายากกว่านี้ก็ใช้ semidirect product วิธีพิสูจน์นี้ผมเรียบเรียงตามความเข้าใจของผมซึ่งอาจจะขาดรายละเอียดบางอย่างไป ถ้าไม่เข้าใจตรงจุดไหนก็ถามเพิ่มเติมได้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ช่วยดูให้หน่อยครับว่าวิธีนี้ใช้ได้มั้ย ให้ $x \in G$ จะได้ว่า $o(x)=1,p,q,pq$ เนื่องจาก จำนวน Sylow p-subgroup และ Sylow q-subgroup มีแค่เพียงอันเดียว ดังนั้น สมาชิกใน G ที่มี order p จะมี p-1 ตัว และ ที่มี order q จะมี q-1 ตัว เมื่อรวมกัน e ก็ได้ว่า มีจำนวน p+q-1 ซึ่งน้อยกว่า pq ดังนั้น G มีสมาชิกที่มี order pq นั่นคือ G เป็น cyclic group |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
จะรู้ได้ไงว่าสี่เหลี่ยมรูปนี้ cyclic | Spotanus | เรขาคณิต | 2 | 16 พฤษภาคม 2024 17:30 |
Group ค่ะช่วยพิสูจน์หน่อยนะค่ะ | mod_ta_noy | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 1 | 17 กันยายน 2007 23:03 |
order preserving transformation and Function | MoDErN_SnC | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 17 มิถุนายน 2007 22:18 |
Second order differential equation | Counter Striker | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 21 ธันวาคม 2002 15:08 |
|
|