#1
|
|||
|
|||
สมการ expo ครับ
ข้อนี้ทำอย่างไรครับ
$$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\left(x+1\right)}=\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$$ 20 มกราคม 2019 21:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nc2002 |
#2
|
||||
|
||||
คำตอบคือ $\boxed{-2020}$ ครับ
อันนี้จริง ๆ เห็นได้แหละครับว่า $x=-2020$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ แต่ปัญหาคือเรามั่นใจได้อย่างไรว่านี่เป็นคำตอบเดียว เพื่อความสะดวกผมจะให้ $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{(x+1)}$ และเราลองศึกษาลักษณะของฟังก์ชันนี้กันก็จะพบว่า 1) $f$ แสดงพฤติกรรมเป็นฟังก์ชันลดแท้ บนช่วง $(-\infty,-1)$ และ $(0,\infty)$ 2) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=e$ และ $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=e$ จาก 1) และ 2) ทำให้ได้ว่า $f(x)>e$ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x$ และจาก $e>\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$ จึงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่สมการนี้จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงบวก จาก 1) ได้ว่า ถ้า $x<-2020$ แล้ว $f(x)>f(-2020)=\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$ จึงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่สมการนี้จะมีคำตอบของสมการเป็น $x$ น้อยกว่า $-2020$ ในทำนองเดียวกันถ้า $x \in (-2020,-1)$ แล้ว $f(x)<f(-2020)=\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$ จึงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่สมการนี้จะมีคำตอบของสมการเป็น $x$ ที่อยู่ในช่วง $(-2020,-1)$ ดังนั้นจึงได้ว่าสมการนี้มีคำตอบเพียงแค่ $-2020$ เท่านั้น ปล. อันนี้ผมคิดเฉพาะในกรณีที่ตัวฐานของ exponential เป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้นนะครับ เพราะว่าไม่งั้นการนิยามคงวุ่นวายน่าดู 21 มกราคม 2019 13:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
EXPO ครับ ดูเหมือนง่ายแต่ยาก | tongkub | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 3 | 28 มิถุนายน 2011 10:00 |
สมการ Expo ครับ | MiNd169 | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 12 | 25 มิถุนายน 2011 21:44 |
อสมการ expo ครับ | poper | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 5 | 03 สิงหาคม 2010 08:48 |
สมการ expo กับ log แก้ไม่ออกครับ | poper | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 13 | 17 มิถุนายน 2010 08:40 |
expo ข้อสอบเตรียม ... ยากมาก | st_alongkorn | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 14 เมษายน 2009 18:15 |
|
|