Little Little Time !!

[Siren-Of-Step]

1. เพราะว่า $1^n+2^n+3^n+4^n =10$ เมื่อ $n=1$ เมื่อนำ 10 ไปหารแล้วเหลือเศษ 0 จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งทำให้เศษที่ได้จากการหาร $1^n+2^n+3^n+4^n$ ด้วย 10 เท่ากับ 0
2. จงแสดงว่า ถ้า $2\leqslant k\leqslant n-2$ แล้ว

$\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2} +2\binom{n-2}{k-1} +\binom{n-2}{k}$ สำหรับ $k \geqslant 4$

3. จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็ม $n \geqslant 2$
$\binom{2}{2}+\binom{4}{2}+ \binom{6}{2}+...+ \binom{2n}{n} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

4. จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $n \in \mathbb{N} , \binom{2n}{n} = \frac{1*3*5*...*(2n-1)}{1*3*5*..*n}*2^n$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1. เพราะว่า $1^n+2^n+3^n+4^n =10$ เมื่อ $n=1$ เมื่อนำ 10 ไปหารแล้วเหลือเศษ 0 จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งทำให้เศษที่ได้จากการหาร $1^n+2^n+3^n+4^n$ ด้วย 10 เท่ากับ 0

$2^n+3^n+4^n$ จะต้องหารด้วย 10 แ้ล้วเหลือเศษ 9

พิจารณาลำดับของเศษจากการหารด้วย 10 เมื่อ n = 1, 2, 3, ... ของ $2^n, 3^n, 4^n$ จะได้

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ...

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...

4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, ...

--------------------------------
9, 9, 9, 3, 9, 9, 9, 3

จะเห็นว่าเศษจากการหารผลรวมในแนวดิ่งด้วย 10 จะได้เศษ 9 เสมอ ยกเว้นเมื่อ 4 หาร n ลงตัว

ดังนั้น n ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือจำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่หารด้วย 4 ไม่ลงตัว.

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

2. จงแสดงว่า ถ้า $2\leqslant k\leqslant n-2$ แล้ว

$\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2} +2\binom{n-2}{k-1} +\binom{n-2}{k}$ สำหรับ $k \geqslant 4$

จะพิสูจน์โดยการให้เหตุผลเชิงคอมบินาทอริก

มีของ n สิ่้งต่างกัน ต้องการเลือกมา k สิ่้ง จะทำได้ $\binom{n}{k} $ วิธี

ซึ่งสมมติว่าในของ n สิ่งที่ต่างกันนี้มีของอยู่ 2 สิ่ง คือ ก. และ ข. จะมีทั้งสิ้น 4 กรณี

กรณีที่ 1 : ก. ได้ ข.ไม่ได้
จะเหลือของ n - 2 สิ่ง เลือกมา k - 1 สิ่ง (ก. ได้ไปแล้ว 1 สิ่ง) ทำได้

$\binom{n-2}{k-1}$ วิธี

กรณีที่ 2 : ก. ไม่ได้ ข.ได้
ทำนองเดียวกับกรณีที่ 1 ทำได้ $\binom{n-2}{k-1}$ วิธี

กรณีที่ 3 : ก. ได้ ข. ได้
ต้องการอีก k - 2 สิ่งจาก n - 2 สิ่ง ทำได้ $\binom{n-2}{k-2}$ วิธี

กรณีที่ 4 : ก. ไม่ได้ ข. ไม่ได้
ต้องการ k สิ่งจากของ n - 2 สิ่ง ทำได้ $\binom{n-2}{k}$ วิธี

นำคำตอบทุกกรณีมารวมกัน จะได้ตามที่ต้องการพิสูจน์

[Siren-Of-Step]

ขอแบบอุปนัยอะครับ ผมไม่ค่อยรู้คอมบิ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ขอแบบอุปนัยอะครับ ผมไม่ค่อยรู้คอมบิ

อุปนัยมันเหนื่อยครับ ตอนนี้ผมขี้เกียจพิมพ์ + เขียน เพราะต้่องใช้พีีชคณิตเยอะ ไว้ลองคิดดูว่าจะเขียนง่าย ๆ ได้ยังไงค่อยว่ากันอีกทีครับ สำหรับโจทย์ข้อ 2. นี่ผมคิดจริง ๆ แล้วผู้ตั้งปัญหาต้องการฝึกให้ใช้การให้เหตุผลเชิงคอมบินาทอริกมากกว่าครับ ถ้าจะใช้จริง ๆ ดูแล้วก็น่าจะต้องนำพวกเอกลักษณ์เชิงคอมบินาทอริกมาประยุกต์ต่อครับ.

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

2. จงแสดงว่า ถ้า $2\leqslant k\leqslant n-2$ แล้ว

$\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2} +2\binom{n-2}{k-1} +\binom{n-2}{k}$ สำหรับ $k \geqslant 4$

3. จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็ม $n \geqslant 2$
$\binom{2}{2}+\binom{4}{2}+ \binom{6}{2}+...+ \binom{2n}{n} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$


4. จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $n \in \mathbb{N} , \binom{2n}{n} = \frac{1*3*5*...*(2n-1)}{1*3*5*..*n}*2^n$

ข้อ 2 ใช้ $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k} +\binom{n}{k-1}$

ข้อ 3 ผมคิดว่าโจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้ครับ

$\binom{2}{2}+\binom{4}{2}+ \binom{6}{2}+...+ \binom{2n}{2} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} $

ซึ่งสามารถใช้อุปนัยพิสูจน์ได้ครับ ลองพิสูจน์ดูเองก่อนละกันนะครับ

ข้อ 4 ผมคิดว่าโจทย์ข้อนี้น่าจะเป็นอย่างนี้ครับ
$ \binom{2n}{n} = \frac{1*3*5*...*(2n-1)}{1*2*3*..*n}*2^n$
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยการกระจายพจน์ทางด้านซ้ายมือ แล้วจัดรูปครับ