|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ท่านพี่ครับ ขอ hint ข้อนี้หน่อยครับ functional analysis
Let $Z$ be a proper subspace of an $n$-dimenstional vector space $X$, and let $x_0 \in X-Z$. Show that there is a linear functional f on $X$ such that $f(x_0)=1$ and $f(x)=0$ for all $x \in Z$.
ที่ผมลองทำคือกำหนด f แบบตรงๆเลย ถ้า $x \in Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 0$ และถ้า $x \in X-Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 1$ แล้วลองแบ่งกรณี $x,y$ อยู่หรือไม่อยู่ใน $Z$ แต่ทดลองเห็นว่าถ้า $x,y \in X-Z$ แล้ว $f(x+y) \not= f(x) + f(y) = 2$ ลองมองว่า basis ของ Z ชุดหนึ่ง $\{e_1, ..., e_r\}$ และ basis ของ X ชุดหนึ่ง $\{b_1, ..., b_n\}$ ซึ่ง $n > r$ แล้วเขียน $x$ เป็น linear combination ของ basis แต่ก็งงๆครับ ไปต่อไม่ถูก ขอรบกวนด้วยครับ ขอบคุณมากๆครับ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
สังเกตว่า $x_0$ จะเป็นอิสระกับ $e_1,...,e_r$ (ลองพิสูจน์ดู ไม่ยาก) ดังนั้น เซต $\{e_1,...,e_r,x_0\}$ เป็น linearly independent set จากนั้นใช้ทฤษฎีบทที่ว่า เราสามารถขยายเซตนี้ไปเป็น basis ของ $X$ ได้ สมมติเป็น $\{e_1,...e_r,x_0,x_1,...,x_{n-r-1}\}$ ที่เหลือก็นิยาม linear functional แบบนี้ $f(e_i)=0$ $f(x_0)=1$ $f(x_i)=0$ สำหรับ i>0 สำหรับสูตรทั่วไปก็นิยาม $f(x)=d_0$ เมื่อ $x=c_1e_1+\cdots +c_re_r+d_0x_0+d_1x_1+\cdots +d_{n-r-1}x_{n-r-1}$ ฟังก์ชันนี้ well-defined เพราะเราสามารถเขียน $x$ ให้อยู่ในรูปข้างบนได้เพียงแบบเดียว เนื่องจากเซตที่เราสร้างมาเป็น basis ส่วน linearity ก็เช็คไม่ยากครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
โอ๊ว ยอดเยี่ยมมากเลยครับท่านพี่ ขอบคุณมากๆๆครับ
__________________
$ \rho\iota\gamma$o$\rho \ \iota\sigma \ \omega$o$\rho\kappa\iota\nu\gamma \ \eta\alpha\rho\delta $ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วยสอน ทำ hint กับ solution ทีครับ | Julian | ปัญหาการใช้เว็บบอร์ด | 5 | 09 ธันวาคม 2008 15:08 |
ทำ hint กับ solution ยังไง | flossy | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 22 ตุลาคม 2008 09:57 |
IMO;Functional Equation | The jumpers | พีชคณิต | 4 | 12 พฤษภาคม 2008 14:43 |
Functional Equation | dektep | พีชคณิต | 14 | 14 มีนาคม 2008 11:35 |
Functional Analysis | mercedesbenz | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 18 สิงหาคม 2007 18:08 |
|
|