|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยคิดโจทย์ด้วยนะครับ
ผมทำโจทย์ไปเรื่อยๆ ก็เจอข้อที่คิดไม่ออก ช่วยหน่อยนะครับ
1. ให้ $a,b,c\in \mathbb{Z^+} $ โดยที่ $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} =\frac{1}{c}$ และ a ไม่เท่ากับ b จงเเสดงว่า $a+b$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 2. ให้ $p+1=2x^2$ และ $p^2+1=2y^2$ โดยที่ $x,y\in\mathbb{Z}$ จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมด ยังไม่มีใครช่วยเลยอ่ะTT
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 11 มิถุนายน 2007 04:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
#2
|
||||
|
||||
ข้อแรกไม่จริงครับ.
เช่น ถ้า a = b = 4 , c = 2 จะได้ว่า a + b = 8 ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ |
#3
|
||||
|
||||
ขออภัยครับ a ไม่เท่ากับ b ครับ(แก้โจทย์แล้ว)
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#4
|
||||
|
||||
ก็ยังไม่จริงอยู่ดีครับ. เช่น ถ้า a = 12030 , b = 2406 , c = 2005
จะได้ว่า $\frac{1}{2005} = \frac{1}{12030} + \frac{1}{2406}$ แต่ 12030 + 2406 = 14436 ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ |
#5
|
||||
|
||||
เหอๆ พี่ gon หาข้อขัดแย้งได้เก่งจริงๆ ผมยังทำขนาดนั้นไม่ไหวเลยครับ โอเคครับ ผมจะลองคิดดูว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า แล้วขอคำแนะนำข้อ 2 ด้วยครับ
ผมคำนวณได้ว่า $p=7$ แต่ไม่รู้ว่าจะพิสูจน์อย่างไรว่าไม่มีตัวอื่นอีก แนะนำด้วยครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 13 มิถุนายน 2007 18:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja เหตุผล: แก้คำผิด |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 1. เข้าใจว่า ผู้ตั้งปัญหาอาจจะนำเอกลักษณ์ $\frac{1}{ab} = \frac{1}{b-a}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ ไปเล่นดูครับ. ซึ่งก็จะได้ว่า
$\frac{1}{ax} = \frac{1}{x(x+a)} + \frac{1}{a(x+a)}$ ตรงนี้ชัดเจนว่า $x(x+a) + a(x+a) = (x+a)^2$ แต่ถ้านำจำนวนเต็ม 1/b โดยที่ จำนวนเต็ม b ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ มาคูณตลอดจะได้ $\frac{1}{bax} = \frac{1}{bx(x+a)} + \frac{1}{ba(x+a)}$ ผลบวกของตัวส่วนก็จะได้ $b(x+a)^2$ โชคดีของเราจึงหมดไปครับ. สำหรับข้อ 2. ยังคิดไม่ออกครับ.... เรื่องทฤษฎีจำนวนจะว่าไปแล้ว พี่ไม่ถนัดเลยครับ. |
#7
|
||||
|
||||
น่าจะได้แล้วนะครับ
แนวคิดคร่าวๆของข้อสองนะครับ
$p+1=2x^2$ จับยกกำลังสอง $p^2+2p+1=4x^4$ $p=2x^4-y^2 $ และจาก $p^2+2p+1=4x^4$ จะได้ว่า $p^2=4x^4-4x^2+1=(2x-1)^2$ $\therefore p=-(2x-1)$ หรือ $2x-1$ CaseI $p=-(2x-1)$ จะได้ว่า $2x^2+2x-2=0$ ทำให้ได้ว่ากรณีนี้ไม่มีคำตอบ CaseII $p=2x-1$ จะได้ว่า $x=2$ ทำให้ได้ว่า $y=5$ และ $p=7$ จากทั้งสองกรณีจะได้ว่า p=7 ค่าเดียว
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#8
|
||||
|
||||
Case II ลองคิดตามได้แบบนี้ครับ: $p=2x-1=2x^2-1$ ดังนั้น $x=0,1\ne2$
อีกอย่างผมสงสัยว่าสมการ $p=2x^4-y^2$ คิดมาแล้วเอาไปใช้ตรงไหนในโจทย์อีกครับ(ไม่นับ Case II นะครับ เพราะยังมีปัญหา) เพราะถ้าทำอย่างที่ทำมา มันใช้จริงๆแค่สมการแรกสมการเดียวเองนะครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#9
|
||||
|
||||
ในที่สุดก็ผิดพลาดจนได้นะครับ ผลก็คือยังคิดไม่ออกจริงๆ พี่ nongtum ช่วยแสดง full solution ด้วยครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#10
|
||||
|
||||
จากการลองใช้ Mathematica โปรแกรมสุดเจ๋ง ลองคิดดู ถ้าไม่พลาดคำนวณไปประมาณ 1 หมื่นชุด เจออยู่ 2 คำตอบ คือ p = 7 กับ 41 ครับ.
|
#11
|
||||
|
||||
41 ใช้ไม่ได้ครับ ดูเหมือนว่าพี่ gon จะพลาดแล้วนะครับ
เพราะว่า เมื่อแทน $p$ ด้วย 41 แล้ว จะได้ว่า $x$ และ $y$ ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#12
|
||||
|
||||
พี่ gon รบกวนช่วยคิดให้ออกเร็วๆด้วยนะครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#13
|
||||
|
||||
คิดไม่ออกครับ.. เอาโค้ดนี้ไปแปะใน Mathematica แล้วลองรันดูนะครับ.
For[x=0,x<=999,x++;Print["x=",x,",y=",N[$\sqrt{\frac{(2x^2-1)^2+1}{2}},20$]]] ลองเปลี่ยนช่วงค่า x ดูนะครับ ถ้าโชคดีได้ y เป็นจำนวนเต็ม ก็ค่อยตรวจสอบอีกทีว่า ได้ p เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ |
#14
|
||||
|
||||
ผมไม่มีโปรแกรม mathematica ครัับ รบกวนช่วยบอกที่สิงสถิตของโปรแกรมด้วยนะครับ
ในปัจจุบันยังคิดอยู่และคิดไม่ออก รบกวนพี่ๆทั้งหลายใน mathcenter ช่วยมาแก้ด้วยนะครับ สงสัยว่าโจทย์ข้อนี้จะดองซะเเล้วนะครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 21 มิถุนายน 2007 06:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
#15
|
||||
|
||||
ถ้าข้อนี้ดองแล้วก็ปล่อยไปก่อนครับ ตอนนี้ผมมีโจทย์ข้อใหม่มาฝาก(ไม่แน่ใจว่าพวกนี้เกินระดับม.ปลายรึเปล่าครับ)
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^4+4^n$ เป็นจำนวนเฉพาะ ได้โปรดด้วยครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 22 มิถุนายน 2007 06:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
|
|