สอวน ทฤษฎีจำนวน'50

[o_o_o]

1. โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จงพิสูจน์ว่า ถ้า $(a^2,b^2)=1$ แล้ว $(a^n,b^n)=1$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n (8 คะแนน)

2. ให้ $R_n = 111...11$(n ตัว) เช่น $R_3=111, R_4=1111$ จงพิสูจน์ว่า
(2.1)ถ้า $n|m$ แล้ว $R_n|R_m$
(2.2)ถ้า $(m,n)=1$ แล้ว $(R_n,R_m)=1$ (10 คะแนน)

3. จงพิสูจน์ว่า ทุกจำนวนเต็มบวก $n>1$ จะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p|n$ (8 คะแนน)

4. จงพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้จำนวนที่เขียนในรูป $1^{2007}+2^{2007}+3^{2007}+...+n^{2007}$ เป็นจำนวนเฉพาะ (8 คะแนน)

5. จงพิสูจน์ว่า ผลคูณของจำนวนเต็มบวก 4 จำนวนที่เรียงต่อเนื่องกันไม่เป็นกำลังสามสมบูรณ์ (8 คะแนน)

6. จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนประกอบปรากฏอยู่ในลำดับต่อไปนี้เป็นจำนวนอนันต์ $1, 31, 331, 3331, 33331, ...$ (8 คะแนน)

แก้ให้แล้วครับ ขอบคุณครับ

[nongtum]

ข้อสอบบางข้อไม่ยาก แต่ผมมีคำถามเกี่ยวกับโจทย์ครับ:
2. อยากให้พิสูจน์ว่า $(R_n,R_m)=\color{red}1$ ใช่ไหมครับ
4. น่าจะเป็น $1^{2007}+\color{red}2^{2007}+3^{2007}+\cdots+n^{2007}$ มากกว่าครับ