พิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตว่าเป็นจริงให้ดูหน่อยครับ

[SoRuJa]

จงพิสูจน์ว่า $$n^2 \geq 2n + 1$$
สำหรับ $$n \geq 3 $$

พอดีเคยทำแต่แบบที่ หา P(1) , P(n) และ P(n+1) อ่ะครับ พอเจอแบบนี้เลยงงมาก คิดไป 2 ชั่วโมงกว่าๆแล้วยังคิดไม่ออกเลยครับ

รบกวนช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ ขอบคุณครับ

[nongtum]

ลองเปลี่ยนตัวเริ่้มจาก P(1) เป็น P(3) ดูนะครับ คิดว่าส่วนหลังไม่น่ามีปัญหานะครับ

[t.B.]

พอดีผมยังไม่เคยเรียนอะครับถ้าไม่คิดเป็นP(1),P(3)อะไรพวกนี้ แล้วคิดแบบแก้สมการแล้วมาอันเตอเซกกับเงื่อนไขแล้วไม่เกิดข้อขัดแย้งอย่างงี้ถือเป็นการพิสูจน์ไหม รบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะด้วย

[nongtum]

ถ้าโจทย์ไม่ระบุว่าให้แก้โดยอุปนัยเชิงคณิต ก็น่าจะทำโดยการแก้อสมการอย่างที่ว่าได้ึครับ

ส่วน P(n) ทั้งหลายแหล่ คือลำดับขั้นตอนการพิสูจน์โดยอุปนัยแหละครับ

[nooonuii]

ทำแบบนี้เหรอครับ

$n\geq 3\Rightarrow (n-1)^2\geq 4\Rightarrow n^2\geq 2n+3 > 2n+1$

[konkoonJAi]

สรุปว่า การพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องเริ่มจาก p(1) ใช่มั้ยคะ
เคยเจอโจทย์ข้อหนึ่งเกี่ยวกับ metric space บอกว่า ถ้า $d$ เป็น metrix บน $X$ แล้ว
$d(x_1,x_n) \leq d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+...+d(x_{n-1},x_n)$ สำหรับทุก $x_i \in X$
ก็ไม่รู้ว่าจะพิสูจน์ p(1) ยังไง
แต่เริ่มจาก p(3) ได้ค่ะ

[nooonuii]

หลักการก็คือว่า ข้อความจะต้องเป็นจริงโดยเริ่มจากจำนวนนับค่าใดค่าหนึ่งครับ ไม่จำเป็นต้องเริ่มจาก $n=1$ แต่ถ้าสมมติว่าข้อความจริงที่ $n=2$ แต่ไม่จริงที่ $n=3$ แล้วไปจริงที่ $n=4,5,6,...$ แบบนี้เราจะพิสูจน์โดยเริ่มจากกรณี $n=2$ ไม่ได้ครับ แต่ต้องเริ่มที่กรณี $n=4$ เพราะหลักการของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ก็เหมือนกับการล้มโดมิโนครับ ถ้าเราล้มตัวแรกได้(หมายถึงข้อความเป็นจริง) เราก็จะล้มตัวที่สองได้ และล้มตัวต่อไปได้เรื่อยๆครับ ถ้าล้มแล้วไปสะดุดที่ขั้นใดขั้นหนึ่งเราก็ล้มต่อไปไม่ได้ครับ

[konkoonJAi]

แบบนี้นี่เอง ขอบคุณมากค่ะ เมื่อวันก่อนอ่านหนังสือกับเพื่อนก็สงสัยกันเกี่ยวกับเรื่องนี้ เพราะมีบางคนไม่เชื่อว่ามันเริ่มที่ $n \neq 1$ ก็ได้