#1
|
||||
|
||||
โจทย์ครับ
1.จงหา $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2 $ 2.จงพิสูจน์ว่าตัวเลข $19^{1976} + 76^{1976} $ i) จะหารด้วย $2^{2^4 } + 1$ ลงตัว ii) จะมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่แตกต่างกัน 4 จำนวนที่หารลงตัว นอกเหนือจาก $2^{2^4 } + 1$ 3.จงหาจำนวนเต็ม $a$ , $b$ ที่สอดคล้อง $7a + 14b = 5a^2 + 5ab + 5b^2 $ 4.จงหา $(x,y)$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ $x^3 - y^3 = 2xy + 8$ ช่วยหน่อยนะครับ |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จัดรูปเป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $b$ จากนั้นใช้คุณสมบัติที่ว่า Discriminant $\geq 0$ หาขอบเขตของ $a$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
2.ได้แค่ส่วนแรกครับ
$19^{1976}+76^{1976}=19^{1976}(1+4^{1976})$ $=19^{1976}(1+2^{16x19x13})$ ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า $2^{2^{4}}+1=2^{16}+1|2^{16x19x13}+1$ เคลียร์ข้อ a) ไปข้อนึง แต่ข้อ b) นี่... สุดๆ ยังคิดไม่ออก ที่ได้ก็แค่ว่ามี $19$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวนึงแน่ๆ แล้วก็มี $2^{16x19}+1, 2^{16x13}+1$ เป็นตัวประกอบของ $19^{1976}+76^{1976}$ แน่ๆ โดยที่ 19 หาร $2^{16x19}+1, 2^{16x13}+1$ ไม่ลงตัวทั้งคู่ 14 เมษายน 2008 17:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#4
|
||||
|
||||
นี่เป็นโจทย์ IMO Longlist ไม่ใช่เหรอครับ
|
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 4 ครับ
ข้อ 4
กำหนดให้ $x,y \in \mathbb{Z} $ ซึ่ง $x^3 - y^3 = 2xy + 8$ จัดรูปใหม่จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $x,y \geq 0$ และ $x>y$ ดังนั้น $x-y\geq 3,x-y=2,x-y=1,x=y$ กรณี $1$ $x-y\geq 3$ จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)\geq 7y^2+21y+27$ ซึ่งไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ $0$ กรณี $2$ $x-y=2$ จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)= 4y^2+8y+8$ ซึ่งจะได้ว่า $y=0$ และ $x=2$ กรณี $3$ $x-y=1$ จะได้ว่า $8=(x-y)(x^2+y^2)+xy(x-y-2)= y^2+y+1$ ซึ่งไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม กรณี $4$ $x=y$ จะได้ว่า $2y^2+8 =0$ ซึ่งกรณีนี้ไม่เกิดขึ้นเมื่อ $y$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ ต่อไปเราสมมติ $x,y<0$ ทำแบบเดียวกันจะเห็นว่า มีอีกคำตอบคือ $x=0$ และ $y=-2$
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 15 เมษายน 2008 12:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja เหตุผล: LaTeX fixed |
#6
|
||||
|
||||
จริงๆแล้วเราไม่ต้องพิจารณากรณี $x,y<0$ ก็ได้เพราะว่าถ้า $(x,y)$ เป็นคำตอบก็จะได้ว่า $(-y,-x)$ เป็นคำตอบด้วย
|
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $A=\frac{{2^{16 \times 19}+1 }}{{65537}}$ เป็นจำนวนเต็ม $B = \frac{{2^{16 \times 13}+1}}{{65537}}$ เป็นจำนวนเต็ม ให้ $C = \frac{{2^{19 \times 16 \times 13}+1 }}{{AB \times 65537}}$ แม้ว่า $A,B$ จะมีตัวประกอบอีกจึงได้ว่า 19,ตัวประกอบเฉพาะของ $A$,ตัวประกอบเฉพาะของ $B$ ,ตัวประกอบเฉพาะของ $C$ รวมกันคือมีจำนวนเฉพาะที่หาร $19^{1976} + 76^{1976} $ ได้ลงอย่างน้อย 4 ตัวเสมอ ไม่จำเป็นต้องดูรูปที่แนบมาหรอกครับ ฺ 16 เมษายน 2008 16:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314 |
#8
|
||||
|
||||
1.(Solved by P'deekrab)
จาก $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2$ จะได้ว่า $(2x^2 +x)^2<4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = 4y^2\leq(2x^2+x+2)^2$ ดังนั้น $4y^2=(2x^2+x+1)^2$ หรือ $4y^2=(2x^2+x+2)^2$ เมื่อแยกกรณีจะได้ $(x,y)=(0,\pm 1),(-1,\pm 1),(3,\pm 11)$ ป.ล.ขอบคุณคุณ Tohn มากครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 17 เมษายน 2008 09:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja เหตุผล: complete solution |
#9
|
||||
|
||||
ขอเสริมแนวคิดข้อ$1$ด้วยแล้วกันนะคับ
$(y-1)(y+1)=(x^2+1)(x^2+x)$ กรณี $y^2-1 = 0$ จะได้ (0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1) กรณี $y^2-1 ไม่เป็น 0$ $(y-1)(y+1)=(x^2+1)(x^2+x)$ สังเกตุว่าเป็ฯผลคูณของจำนวนที่เรียงติดกัน จะได้ว่า$x=3$ $y^2=121$ (3,-11),(3,11) คับ ^_^
__________________
I'm kak. |
#10
|
||||
|
||||
ทำได้หมดแล้วนะครับ ขอบคุณมากครับ นี่คือโจทย์ข้อใหม่ครับ
5.จงหา $x,y,z$ ที่เป็นจำนวนนับทั้งหมดที่สอดคล้อง $\sqrt {\overline {xxx...x} - \overline {yyy...yy} } = \overline {zzz...zz} $ มี $x$ อยู่ $2n$ ตัว $y$ $n$ ตัว $z$ $n$ ตัว 6.จงหา $x,y$ ที่เป็นจำนวนนับรวมศูนย์ทั้งหมดที่สอดคล้อง $2^x = 3^y + 5$ 7.จงพิสูจน์ว่า $\sqrt {x^3 + y^3 + z^3 } = 1969$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม 8.จงพิสูจน์ว่า $4^x + 6^x = 9^x $ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ 9.(Erdos) $n,n + 1,n + 2,...,n + m$ โดยที่ $m \ge 3$ ไม่สามารถแบ่งโดย 2 สับเซตที่มีผลคูณของสมาชิกในเซตเท่ากันได้ 17 เมษายน 2008 23:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314 |
#11
|
||||
|
||||
ข้อ 1 วิธี ของ คุณ tohn ใน case 2 ทำมถึงเทียบได้เลยหล่ะครับ
เเล้ว ทำไม ข้อ4 ไม่พิจารณา x>0,y<0 พวกเนี่ยอ่ะครับ ซึ่งโอเคว่ามันไม่ได้ เเต่มันละได้เลยหรอครับ อธิบายคนดักดานที่ครับ |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $2^x = a$ และ $3^x = b$ ดังนั้น $a,b>0$ และ $a^2+ba-b^2 = 0$ ได้ว่า $a = \frac{-b+\sqrt{5b^2}}{2} = \frac{-b+b\sqrt{5}}{2} = b(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$ นั่นคือ $2^x = 3^x(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \Rightarrow x\log 2 = x\log 3 + \log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \Rightarrow x = \frac{\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}{\log 2 - \log 3} \not\in \mathbb{Q}$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#14
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
และ $\log (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \not= k(\log 2 - \log 3), k\in\mathbb{Q}$ ครับ
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> 03 พฤษภาคม 2008 00:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Brownian |
#15
|
||||
|
||||
แต่มันก็ยังบอกไม่ได้อยู่ดีว่ามันไม่อยู่ใน $\mathbb{Q}$ นะครับ
ยกตัวอย่างเช่น $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\in\mathbb{Q}$ ถึงแม้ว่า $2\sqrt{2},\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$ |
|
|