|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ข้อสอบสอวน.ค่ายที่ 2 ปี 2550
มาช่วยกันเฉลยข้อสอบสอวน.
|
#2
|
||||
|
||||
ทำไมผมหาข้อสอบไม่เจอล่ะคับ ??
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#3
|
||||
|
||||
__________________
* รัก คณิต
|
#4
|
||||
|
||||
ทฤษฏีจำนวน
3.จงพิสูจน์ทฤษฏีบทของวิลสัน 4.จงหาจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดที่ทำให้ 2m+3n เป็นกำลังสองสมบูรณ์ คอมบินาทอริค 1.ทาสี 2 สีในระนาบคือสีแดงและสีน้ำเงินจงพิสูจน์ว่าจะต้องมีสี่เหลี่ยมผึนผ้าที่มีจุดยอดมุมทั้งสี่เป็นสีเดียวกัน 14 เมษายน 2007 00:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: Double post |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พิจารณา modulo $3$ จะพบว่า $x^2\equiv(-1)^m\pmod3$ แต่ $x^2\equiv-1\pmod3$ ไม่มีคำตอบ ดังนั้น $m$ จะต้องเป็นจำนวนคู่ ให้ $m=2a$ นั่นคือ $x^2=2^{2a}+3^n$ พิจารณา modulo $4$ จะพบว่า $x^2\equiv(-1)^n\pmod4$ แต่ $x^2\equiv-1\pmod4$ ไม่มีคำตอบ ดังนั้น $n$ จะต้องเป็นจำนวนคู่ ให้ $n=2b$ นั่นคือ $x^2=2^{2a}+3^{2b}$ เราจึงได้ว่า $3^{2b}= (x-2^a)(x+2^a)$ และเนื่องจาก $\gcd(x-2^a, x+2^a)$ จะต้องหาร $(x+2^a)-(x-2^a)=2^{a+1}$ ลงตัว และหาร $3^{2b}$ ลงตัวด้วย แสดงว่า $\gcd(x-2^a, x+2^a)=1$ ดังนั้นเราจึงได้ว่า $x-2^a=1$ และ $x+2^a=3^{2b}$ นั่นคือ $x=1+2^a$ และ $1+2^{a+1}=3^{2b}$ แสดงว่า $(3^b-1)(3^b+1)=2^{a+1}$ แต่เนื่องจาก $\gcd(3^b-1, 3^b+1)$ จะต้องหาร $(3^b+1) - (3^b-1)=2$ ลงตัว ดังนั้น $\gcd(3^b-1, 3^b+1)$ เท่ากับ $1$ หรือ $2$ ถ้า $\gcd(3^b-1, 3^b+1)=1$ เราจะได้ว่า $3^b-1=1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ถ้า $\gcd(3^b-1, 3^b+1)=2$ เราจะได้ว่า $3^b-1=2$ นั่นคือ $b=1$ ซึ่งเมื่อคิดย้อนกลับไป เราจะได้ว่าคำตอบทั้งหมดคือ $(m,n)=(4,2)$ ครับ |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พิจารณา lattice (พิกัดที่ค่า x ,y เป็นจำนวนเต็ม) ขนาด 4 แถว 7 คอลัมน์ จากนั้นใช้ หลักรังนกพิราบกับ แถวล่างสุด |
#7
|
||||
|
||||
สอวน.ปีนี้ไม่มีอสมการครับ มีสมการเชิงฟังก์ชันแทน
สมการเชิงฟังก์ชัน 2.จงหา $f:N \rightarrow N$ โดยที่ $f(m-n)+f(m+n)=\frac{f(2m)+f(2n)}{2}$ 07 เมษายน 2007 00:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii เหตุผล: แก้ Latex code |
#8
|
||||
|
||||
2.จงหา f:N→N โดยที่ f(m−n)+f(m+n)=2f(2m)+f(2n)
ข้อนี้คุ้นๆนะ dektep ทฤษฏีบทของวิลสัน คืออะไร ??? 14 เมษายน 2007 00:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: Double post |
#9
|
||||
|
||||
ทฤษฏีบทของ Wilson กล่าวว่า
ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว (p-1)!สมมูลกับ -1(mod p) ครับ
__________________
Impossible is nothing |
#11
|
|||
|
|||
สังเกต ดอกจัน (4x7) พวกนี้ดูนะครับ
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * พิจารณาแถวล่างสุดก่อน โดยจากหลังรังนกพิราบ จะพบว่ามีอย่างน้อย 4 จุดทาสีเดียวกัน สมมติเป็นสีแดง จากนั้นพิจารณาตัวที่อยู่เหนือดอกจันสีแดงเหล่านี้ขึ้นไปครับ (ผมจะใช้สัญลักษณ์ X นะครับ) x x * * x * x x x * * x * x x x * * x * x * * * * * * * แบ่งคิด 2 cases ครับ (i) ถ้ามีตัว x 2 ตัวในแถวใดแถวหนึ่ง ทาสีแดง การพิสูจน์ก็จะสิ้นสุด นั่นคือได้สี่เหลี่ยมที่จุดมุมเป็นสีแดง เช่น x x * * x * x x x * * x * x x x * * x * x * * * * * * * (ii) ถ้า (i) ไม่เกิด แสดงว่า ตั้งแต่แถว 1 ถึง 3 ทาสีน้ำเงินอย่างน้อย 3 จุด (ดังตัวอย่างข้างล่าง) ซึ่งก็จะได้สี่เหลี่ยมแบบที่ต้องการ เช่นเดียวกัน แต่เป็น version สีน้ำ้เงิน x x * * x * x x x * * x * x x x * * x * x * * * * * * * NOTE: ถ้าสังเกตดีๆ ข้อนี้ก็เทียบเท่ากับ combinatorics ข้อนึงของ สอวน. FINAL ROUND ปี 2549 ลองไปค้นดูนะครับว่าข้อไหน
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#12
|
||||
|
||||
ขอมีส่วนร่วมเฉลยสักนิด :-)
เฉลย COMBINATORICS
ข้อ 1.ให้สีแก่จุดบนระนาบด้วยสีเพียงสองสี คือ สีแดงและสีน้ำเงิน จงแสดงว่าต้องมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จุดยอดมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสีเดียวกัน วิธีทำ พิจารณาระนาบใดๆ ที่คลุมด้วยจำนวนจุดแนวนอน n จุด และจุดแนวตั้งจำนวน 2^n + 1 แถว เนื่องจากมีสีอยู่เพียง 2 สี ดังนั้นการสลับสีในแต่ละแถวที่มี n จุด จึงเป็นไปได้เพียง 2^n วิธีเท่านั้น (แนวคิดเหมือนกับการคิดระบบเลขฐาน 2 ที่ว่าเลขฐานสอง 8 หลักมีได้เพียง 2^8 = 256 จำนวน) ฉะนั้นโดยหลักรังนกพิราบ จะได้ว่าแนวตั้ง 2^n + 1 แถวนั้น ต้องมี 2 แถวใดๆ ที่เหมือนกันทุกประการ จากนั้นเมื่อพิจารณา 2 แถวที่เหมือนกันทุกประการนั้น จะพบว่าเมื่อ n > 2 ย่อมมีคู่ที่มีสีเหมือนกัน อย่างน้อย 2 คู่ ซึ่งทำให้เกิดสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามที่ต้องการเสมอ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#13
|
||||
|
||||
การยกตัวอย่างของคุณ passer-by ในความเห็นที่ 11 อาจไม่เกิดสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสมอไป
ตามความเห็นที่ 12 ที่ผมอธิบายไปแล้ว
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#14
|
||||
|
||||
Number Theory ข้อ 1 กับ 2 ผมเฉลยไว้ใน วิชาการ.คอม (ความเห็นที่ 25 และ 26 ในนั้น)
Number Theory ข้อ 1 กับ 2
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#15
|
||||
|
||||
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ข้อสอบช้างเผือก ทอ. พ.ศ.2550 | Eddie | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 50 | 25 พฤศจิกายน 2012 22:43 |
ข้อสอบ คัดเลือกนักเรียนระดับเขต ช่วงชั้นที่ 3 ปี 2550 | Tinyo Dragonn | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 55 | 31 กรกฎาคม 2008 15:23 |
สอวน.ปีนี้ (2550) | HIPPO1234 | ข้อสอบโอลิมปิก | 14 | 27 พฤษภาคม 2007 12:54 |
Advanced National Educational Test 2550 | Mastermander | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 53 | 04 พฤษภาคม 2007 03:00 |
|
|