|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
การรวมกันของ Arctan ที่น่าสงสัย
โดยทั่วไปพบว่า
\[ \arctan x + \arctan y = \arctan (\frac{x+y}{1-xy}) \] ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $-\frac{\pi}{2} < \arctan x +\arctan y < \frac{\pi}{2} $ อันนี้ไม่มีข้อกังขาแต่อย่างใดครับแต่ผมพบว่าสูตรที่เคยแอบจดไว้เป็นดังนี้ครับ \[ \begin{array}{lclcl} \arctan x + \arctan y &=& \arctan (\frac{x+y}{1-xy})&;& xy<1 \\ \arctan x + \arctan y &=& \pi +\arctan (\frac{x+y}{1-xy})&;& xy>1,x>0,y>0 \\ \arctan x + \arctan y &=& -\pi + \arctan (\frac{x+y}{1-xy})&;& xy>1,x<0,y<0 \\ \end{array}\] ครั้นตอนมัธยมผมก็จำเอาครับ ตอนนี้เกิดอยากรู้ขึ้นมาว่า เงื่อนไข $x,y$ ต่างๆนี่มาได้ยังไงครับ ?? ผมกำลังคิดว่าไม่น่าจะเกิดจากการลองแยกกรณีดูไปเรื่อยๆ รึเปล่าครับ ? ถ้าผู้ใดทราบวิธีพิสูจน์รบกวนบอกผมด้วยนะครับ แหะๆ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#2
|
||||
|
||||
เงื่อนไขน่าจะมาจากนิยามของ $arc$ น่ะครับที่จำกัดโดเมนของฟังก์ชัน (หรือเรนจ์ของอินเวอร์ส) ให้อยู่ในช่วง $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ น่ะครับ
จาก $tan(A+B)=\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}$ >>> $A+B=arctan\left(\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}\right)$ $arctan$ จะหาได้ก็ต่อเมื่อมุม $A+B$ อยู่ในช่วง $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ซึ่งถ้า $A+B$ อยู่ในช่วงนั้นแล้วก็ใส่ $arc$ ตามสบาย แต่ถ้ายังไม่อยู่ในช่วงเราก็จะทำมันให้อยู่ในช่วงน่ะครับ (พูดง่ายดีจัง) พิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วย จะพบว่าส่วนที่ยังไม่อยู่ในโดเมนคือ กรณีที่ $\frac{\pi}{2}<A+B<\frac{3\pi}{2}$ <= ตรงนี้เองที่เป็นที่มาของเงื่อนไข เราบวกทั้งอสมการด้วย $-\pi$ จะได้ว่า $\frac{-\pi}{2}<A+(B-\pi)<\frac{\pi}{2}$ ซึ่งอยู่ในโดเมนตามที่ต้องการ ฉะนั้น \[\begin{array}{rcl} tan(A+(B-\pi))&=&\displaystyle{\frac{tanA+tan(B-\pi)}{1-tanAtan(B-\pi)}}\\ &=&\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}} \end{array}\] (หมายเหตุ $tan(B-\pi)=tanB$ ครับ) ซึ่งทีนี้ก็หา $arctan$ ได้สบายแล้วเพราะว่า $\frac{-\pi}{2}<A+(B-\pi)<\frac{\pi}{2}$ \[\begin{array}{rcl} A+(B-\pi)&=&arctan\left(\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}\right)\\ A+B&=&\pi+arctan\left(\displaystyle{\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}}\right)\\ \end{array}\] เมื่อเราให้ $tanA=x,tanB=y$ ก็จะได้มาแล้วสมการนึง (ตั้งสมการนึงแน่ะ...) ที่คุณ M@gpie ให้มา... . . . ไม่ครับ มันยังมีอีกคับ เพราะเราไม่รู้ว่า $A$ กับ $B$ อยู่ในช่วง $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ หรือเปล่า ก็เลยต้องหาอีกว่ากรณีไหนบ้างที่ $A$ กับ $B$ อยู่ในช่วงหรือไม่อยู่ในช่วง ซึ่งผมจะมาต่อเรื่องนี้ทีหลังครับ (หรือคนอื่นจะมาต่อก็ได้ เพราะผมเริ่มเหนื่อยแล้ว... ) กรณี $xy<1$ ดูเว็บนี้ครับ http://www.gomath.com/Questions/ques...?question=4931 ดูที่ Question 4934 03 เมษายน 2007 15:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: Double post |
#3
|
||||
|
||||
นั่นแหละครับ ผมก็ลองเช็คแบบที่คุณ Mathophile ทำแหละครับ แต่ประเด็นคือเงื่อนไขต่างๆเช่น $xy<1$ เขารู้ได้อย่างไร ?
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#4
|
||||
|
||||
ดูจากเงื่อนไขที่เปรียบเทียบ $xy$ กับ $1$ คาดว่า น่าจะเกี่ยวข้องกับค่า $1 - xy$ ที่เป็นตัวส่วนของ
\[\arctan\left(\frac{x+y}{\bbox[PaleGreen,2pt]{\color{Sienna}{1}-\color{red}{xy}}}\right)\] เงื่อนไข $xy > 1$ ทำให้เครื่องหมายบวกหรือลบของ $\arctan$ ตรงข้ามกับเครื่องหมายบวกหรือลบของตัวเศษ $x + y$ เงื่อนไข $xy < 1$ เครื่องหมายบวกหรือลบของ $\arctan$ ตรงกับเครื่องหมายบวกหรือลบของตัวเศษ $x + y$ จากนั้นจึงไปพิจารณา $x,y$ ในเงื่อนไขต่างๆกันว่า เมื่อแทนลงในสูตรดังกล่าวแล้ว ค่า $\arctan$ ที่ได้เป็นค่าที่ถูกต้องหรือไม่ หากไม่ถูกต้อง ก็แก้ไขตามแต่ละกรณีไป
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#5
|
||||
|
||||
ลองพิจารณาอันนี้ใหม่นะครับ... (ยาวนิดนึงนะครับ )
พิจารณามุม $A,B$ ที่ $A\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ และ $B\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ดังนั้น จะมี $x,y$ ที่ $A = \arctan x, B = \arctan y$ กรณี 1 $0 \leq A < \frac{\pi}{2}$ และ $-\frac{\pi}{2} < B \leq 0$ จะได้ $\arctan x + \arctan y = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$ (เพราะ $-\frac{\pi}{2} < A+B < \frac{\pi}{2}$ นั่นคือ $-\frac{\pi}{2} < \arctan x + \arctan y < \frac{\pi}{2}$ จึงเปลี่ยนได้สบาย) กรณี 2 $-\frac{\pi}{2} < A < 0$ และ $0 < B < \frac{\pi}{2}$ กรณีนี้เหมือนกับกรณี 1 ครับ สลับกันแค่ตัวแปร (แม้จะตัดกรณีที่เท่ากับศูนย์ออกไป ก็ยังได้อยู่ครับ) กรณี 3 $0 < A < \frac{\pi}{2}$ และ $0 < B < \frac{\pi}{2}$ จะได้ $0 < A+B < \pi$ ซึ่งเราจะไม่พิจารณากรณี $A+B=\frac{\pi}{2}$ (เพราะทำให้หา $\tan(A+B)$ ไม่ได้) จึงแบ่งเป็น 2 กรณีย่อยคือ กรณี 4 $-\frac{\pi}{2} < A < 0$ และ $-\frac{\pi}{2} < B < 0$ กรณีนี้คิดเหมือนกรณี 3 ครับแต่เปลี่ยนตรงกรณีย่อยที่ 2 จากบวกด้วย $-\pi$ เป็นบวกด้วย $\pi$ เพราะฉะนั้น $\arctan x + \arctan y =-\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})$ ตอนนี้สิ่งที่เราได้ก็คือ $$\begin{array}{rclcl} \arctan x + \arctan y&=&\arctan(\frac{x+y}{1-xy})&;&-\frac{\pi}{2}<A+B<\frac{\pi}{2}\\ &=&\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})&;&\frac{\pi}{2}<A+B<\pi\\ &=&-\pi+\arctan(\frac{x+y}{1-xy})&;&-\pi<A+B<-\frac{\pi}{2} \end{array}$$ มาดูที่บรรทัด 2 ครับ บรรทัด 2 ได้จากกรณี 3.2 กรณี 3.2 กล่าวว่า $0 < A < \frac{\pi}{2}$ และ $0 < B < \frac{\pi}{2}$ และ $\frac{\pi}{2}<A+B<\pi$ ฉะนั้น $\tan A > 0, \tan B > 0 , \tan(A+B) < 0$ (นึกภาพวงกลมหนึ่งหน่วยนะครับ) แต่ $\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ ด้านซ้ายน้อยศูนย์ ส่วนด้านขวา ตัวเศษมากกว่าศูนย์ ฉะนั้นตัวส่วนก็ต้องน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือ $\tan A\tan B > 1$ เพราะฉะนั้น เงื่อนไขทั้งหมดที่ได้ในกรณีนี้คือ $\tan A > 0, \tan B > 0 , \tan A\tan B > 1$ จากที่เราให้ $A = \arctan x, B = \arctan y$ ก็จะได้เงื่อนไขในรูปของ $x,y$ ว่า $$x > 0, y > 0 , xy > 1$$ สำหรับกรณีอื่นก็พิจารณาในทำนองเดียวกันน่ะครับ และถ้ามุม $\theta$ ใด ๆ ไม่อยู่ในช่วง $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ เราก็จะไม่พิจารณา เพราะเราหา $\arctan$ ไม่ได้ครับ 03 เมษายน 2007 11:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mathophile |
#6
|
||||
|
||||
ขอโทษนะครับที่ปลุกขึ้นมา มันนานมากละ แต่สงสัยว่า
$\arctan x - \arctan y=\arctan(\dfrac{x-y}{1+xy})$ หรือเปล่าครับ ถ้าจริงมีเงื่อนไขอะไรหรือเปล่า
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
26 เมษายน 2010 21:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
|
|