|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
สูตรที่อาจไม่เคยเจอในตำราไหนมาก่อนในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์
สมมติถ้าเราทราบพิกัดของรูปสามเหลี่ยมในระนาบพิกัดฉาก$XY$ คือจุด $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$
1.สูตรที่ใช้หาพิกัด$(x,y)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปวงกลมแนบในสามเหลี่ยมคือ $x=\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}} $ $y=\frac{S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}} $ เมื่อ $S_{1}=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}} $ $S_{2}=\sqrt{(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}} $ $S_{3}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} $ 2.สูตรที่ใช้หาพิกัด$(x,y)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมคือ $x= \frac{\frac{1}{2}\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1} },y=\frac{\frac{1}{2}\vmatrix{x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &1 \\x_{2}& x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1\\ x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1} } $ เมื่อ $\vmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i} $=ดิเทอมิแนนท์ของเมตริกซ์$\bmatrix{a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i} $ 09 เมษายน 2016 11:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: ตกคำบางคำไป |
#2
|
||||
|
||||
ขยายความ
วิธีการใช้สูตรก็ง่ายมากครับแต่อาจจะยุ่งยากตรงการคำนวณติดรากและการใช้เมตริกซ์เข้ามาเกี่ยวข้อง แต่โดยรวมน่าจะใช้เวลาคิดน้อยกว่าการใช้conceptของเรขาคณิตวิเคราะห์ อย่างเช่น ถ้ากำหนดสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด 3 จุด คือ $(3,2),(1,4)$และ $(5,4)$ แล้วให้คำนวณหา
$1.$จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน(Incenter) สามารถหาได้ดังนี้ ก่อนอื่นกำหนดจุด $(x_{1},y_{1})=(3,2)........(x_{2},y_{2})=(1,4).........(x_{3},y_{3})=(5,4)$ หรืออาจจะกำหนดสลับกันต่างไปจากนี้ก็ได้ครับ แล้วแต่สะดวกครับ คำนวณหา $S_{1}=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}$ $S_{1}=\sqrt{(1-5)^{2}+(4-4)^{2}}$ $S_{1}=\sqrt{16}$ $S_{1}=4$ ต่อไป..........หา $S_{2},S_{3}$ ทำเหมือนกัน $S_{2}=\sqrt{(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}}$ $S_{2}=\sqrt{(3-5)^{2}+(2-4)^{2}}$ $S_{2}=\sqrt{4+4}$ $S_{2}=\sqrt{8}$ $S_{2}=2\sqrt{2}$ .............................................................................. $S_{3}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$ $S_{3}=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-4)^{2}}$ $S_{3}=\sqrt{4+4}$ $S_{3}=\sqrt{8}$ $S_{3}=2\sqrt{2}$ ต่อไป.......หาพิกัด $(x,y)$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในตามสูตรนี้ครับ $x=\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}}$ $x=\frac{(4)(3)+(2\sqrt{2})(1)+(2\sqrt{2})(5) }{4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}} $ $x=\frac{12+12\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$ $x=\frac{12(1+\sqrt{2}) }{4(1+\sqrt{2} } $ $x=3 $ ...................................................................................... $y=\frac{S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}}$ $y=\frac{(4)(2)+(2\sqrt{2})(4)+(2\sqrt{2})(4) }{4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}$ $y=\frac{8+16\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$ $y=\frac{8(1+2\sqrt{2}) }{4(1+\sqrt{2} }$ $y=6-2\sqrt{2}$ สรุปว่าจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน(Incenter)=$(3,6-2\sqrt{2})$หรือ$(3,3.17)$ ___________________________________________________________________- $2.$ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม (Circumcenter)หาได้โดยการใช้หลักการหาจุดกึ่งกลางด้านแล้วหาสมการเส้นตั้งฉากซึ่งต้องเข้าใจconceptของวิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์ คือถ้าคนเข้าใจก็สร้างสมการมาหาจุดตัดไม่น่าจะยากเย็นอะไร แต่คนไม่เข้าใจก็คงจะสงสัยสรุปคือหาไม่ได้ไม่เข้าใจหลักการ ทางเลือกของคนไม่เข้าใจ ผมก็อยากนำเสนอสูตรดังนี้ครับ ก่อนอื่นกำหนดจุด $(x_{1},y_{1})=(3,2)........(x_{2},y_{2})=(1,4).........(x_{3},y_{3})=(5,4)$ เหมือนเดิม หาค่า $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=3^{2}+2^{2}=13$ $x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1^{2}+4^{2}=17$ $x_{3}^{2}+y_{3}^{2}=5^{2}+4^{2}=41$ ต่อไป.......หาพิกัด $(x,y)$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมตามสูตรนี้ครับ $x= \frac{1}{2} \frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$ $x= \frac{1}{2} \frac{\vmatrix{13 & 2&1 \\ 17 & 4 & 1\\ 41 &4& 1}}{\vmatrix{ 3& 2&1 \\ 1& 4&1\\ 5& 4&1}} $ $x=\frac{1}{2} [\frac{52+82+68-164-52-34}{12+10+4-20-12-2} ]$ $x=\frac{1}{2}[ \frac{-48}{-8}]$ $x=3$ ........................................................................................... $ y=\frac{1}{2}\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &1 \\x_{2}& x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1\\ x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}} $ $y=\frac{1}{2} \frac{\vmatrix{3&13 &1 \\1& 17 & 1\\ 5&41 & 1}}{\vmatrix{ 3& 2&1 \\ 1&4&1\\5&4&1}} $ $y=\frac{1}{2} [\frac{51+65+41-85-123-13}{12+10+4-20-12-2}] $ $y=\frac{1}{2}[ \frac{-64}{-8}]$ $y=4$ สรุปว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ(Circumcenter)=$(3,4)$ แล้วผมจะนำเสนอสูตรหาจุดตัดกันของส่วนสูงของสามเหลี่ยม(Orthocenter)ต่อไปครับ......อย่าเพิ่งเบื่อกันก่อนนะครับ |
#3
|
||||
|
||||
สูตรหาจุด Orthocenter(จุดตัดกันของส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม) ใช้แค่การแทนค่าและการหาค่าดิเทอมิแนนท์(Determinant)ของเมตริกซ์เป็น
$x= (-1) \frac{\vmatrix{x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$ ............................................................................................................. $ y=(-1)\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} &1 \\x_{2}&x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & 1\\ x_{3}&x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}} $ เมื่อ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ และ $(x_{3},y_{3})$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดฉาก $XY$ |
#4
|
||||
|
||||
"เขามีจดลิขสิทธิ์สูตรทางคณิตศาสตร์ไหมครับ......ถ้ามีผมจะไปจดและ"
สรุปว่าในเรขาคณิตแบบยุคลิค(Euclidean geometry) ถ้าเรารู้จุดยอด(vertex)ของรูปสามเหลี่ยม $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ และ $(x_{3},y_{3})$ สูตรหาจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม(Circumcenter)คือ $(x,y)=(\frac{1}{2} \frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}},\frac{1}{2}\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2} &1 \\x_{2}& x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & 1\\ x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}} )$ ................................................................................................................. สูตรหาจุดตัดกันของส่วนสูงของสามเหลี่ยม (Orthocenter)คือ $(x,y)=(- \frac{\vmatrix{x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}},-\frac{ \vmatrix{x_{1}&x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} &1 \\x_{2}&x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & 1\\ x_{3}&x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}) $ "คราวนี้ลองคิดเล่นๆต่อโดยลากเส้นตรงเชื่อมจุดทั้งสอง(Orthocenter)และ(Circumcenter)แล้วหาพิกัด$(x',y')$ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ระหว่างจุดทั้งสองเป็นอัตราส่วน $2:1$ โดยอยู่ใกล้จุดCircumcenterมากกว่า" $x'=\frac{2X_{(circumcenter)}+X_{(orthocenter)}}{2+1} $ $x'=\frac{2X_{(circumcenter)}+X_{(orthocenter)}}{3} $ $x'=\frac{1}{3} [(2)(\frac{1}{2} )\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}-\frac{\vmatrix{x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}]$ $x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}x_{3}-y_{2}y_{3} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{1}x_{3}-y_{1}y_{3} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$ แล้วใช้สมบัติของDeterminantของเมตริกซ์ในเรื่องการดำเนินการเชิงหลักเชิงแถว มาดัดแปลงค่าเดทให้ดูง่ายขึ้นดังนี้ ขั้นที่1นำ $-y_{1}$ ไปคูณหลักที่2$[C_{2}]$แล้วบวกด้วยหลักที่1$[C_{1}].........[-y_{1}C_{2}+C_{1}]$ ขั้นที่2นำ $-y_{2}$ ไปคูณหลักที่2$[C_{2}]$แล้วบวกด้วยหลักที่1$[C_{1}].........[-y_{2}C_{2}+C_{1}]$ ขั้นที่3นำ $-y_{3}$ ไปคูณหลักที่2$[C_{2}]$แล้วบวกด้วยหลักที่1$[C_{1}].........[-y_{3}C_{2}+C_{1}]$ สรุปจะได้ $x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}-x_{2}x_{3}-y_{1}y_{2}-y_{2}y_{3}-y_{3}y_{1} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}-y_{1}y_{2}-y_{2}y_{3}-y_{3}y_{1} & y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-y_{2}y_{3}-y_{3}y_{1} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$ $x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}-x_{2}x_{3} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}&y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}-x_{1}x_{2} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}.................[(y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{3}y_{1})C_{3}+C_{1}]$ $x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3} & y_{1}&1 \\ x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}&y_{2} & 1\\ x_{3}^{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}.................[(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})C_{3}+C_{1}]$ $x'=\frac{1}{3}\frac{\vmatrix{x_{1}(x_{1}+x_{2}+x_{3}) & y_{1}&1 \\ x_{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3})&y_{2} & 1\\ x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}) & y_{3} & 1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$ $x'=\frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})[\frac{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}{\vmatrix{ x_{1}& y_{1}&1 \\ x_{2}& y_{2}&1\\ x_{3}& y_{3}&1}}$ $ x'=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$ ค่า $y'$ก็หาแบบเดียวกัน จะได้ $ y'=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$ สรุปจุดพิกัด $(x',y')=(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$...ซึ่งก็คือจุดCentroid....สอดคล้องกับทฤษฎีของEuler lineครับ |
#5
|
|||
|
|||
มันคงเป็นสูตรที่หาได้ทั่วไปใน coordinate geometry นั่นแหละครับ
เพียงแต่ว่าเมืองไทยเราไม่สอนเรื่องพวกนี้เท่าไหร่ก็เลยอาจจะดูเป็นของใหม่สำหรับบางคน ลองดูตัวอย่างของ incenter ที่มีคนคิดไว้เหมือนของคุณเป๊ะ http://www.mathopenref.com/coordincenter.html แต่ก็ดีนะครับ การค้นพบความรู้เหล่านี้ด้วยตัวเองเป็นสิ่งที่น่าชื่นชม
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
|
#7
|
||||
|
||||
จุดศูนย์กลางทรงกลมที่บรรจุในปิระมิดฐานสามเหลี่ยม
ถ้าเราทราบพิกัดของรูปปิระมิดฐานสามเหลี่ยมในระนาบพิกัดฉาก3มิติ$XYZ$
คือจุด $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},z_{3})และ(x_4,y_4,z_4)ตามลำดับ$ ...สูตรที่ใช้หาพิกัด$(x,y,z)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมแนบในปิระมิดสามเหลี่ยมนี้คือ $x=\frac{A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+A_{3}x_{3}+A_4x_4}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_4} $ $y=\frac{A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}+A_{3}y_{3}+A_4y_4}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_4} $ $z=\frac{A_1z_1+A_2z_2+A_3z_3+A_4z_4}{A_1+A_2+A_3+A_4}$ เมื่อ $A_{1}คือพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_1,y_1,z_1)$ $A_{2}คือพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_2,y_2,z_2)$ $A_{3}คือพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_3,y_3,z_3)$ และ$A_{4}คือพื้นที่ผิวของส่มเหลี่ยมด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุด(x_4,y_4,z_4)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#8
|
||||
|
||||
ตัวอย่างการหาพื้นที่สามเหลี่ยมบนระนาบสามมิติ
...เช่น...สามเหลี่ยมที่มีพิกัด..(1,2,3),(2,1,4)และ(3,4,2)
...สามารถหาพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ได้ดังนี้ ...สร้างเมตริกซ์เวกเตอร์ของพิกัดทั้งสาม $$A=\bmatrix{1&2&3\\2&1&4\\3&4&2}$$ ...หาเมตริกซ์ของพื้นผิว...$adj.(A)$ $$adj.(A)=\bmatrix{-14&8&5\\8&-7&2\\5&2&-3}$$ ..หาเมตริกซ์เวกเตอร์ระนาบโดยนำสมาชิกของ$adj.(A)$ในแต่ละแถวมารวมกัน.. $$A_i=\bmatrix{(-14)+8+5\\8+(-7)+2\\5+2+(-3)}=\bmatrix{(-1)\\3\\4}$$ ...หาขนาดของเมตริกซ์เวกเตอร์ระนาบ$A_i$... $$|A_i|=[(-1)^2+3^2+4^2]^{(1/2)}=26^{(1/2)}$$ ...จะได้พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ$(1/2)\sqrt{26}$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 12 ธันวาคม 2019 07:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: เพิ่ม1/2 |
#9
|
||||
|
||||
ตัวอย่างการหาปริมาตรของปิรามิดฐานสามเหลี่ยมในพิกัด3มิติ
...เช่นถ้าต้องการหาปิระมิดที่มีพิกัดของฐานสามเหลี่ยม $(1,2,3),(2,1,4)และ(3,4,2)$
และมีจุดยอดที่ $(0,0,0)$ ...จะมีปริมาตร$(V)$เท่ากับหนึ่งในหกของค่าสมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์เวกเตอร์ของพิกัดฐานของปิระมิด... $$V=(1/6)[|det(\bmatrix{1&2&3\\2&1&4\\3&4&2})|]$$ ...ซึ่งจะได้ปริมาตรของปิระมิดเท่ากับ..$17/6$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#10
|
||||
|
||||
..และถ้าต้องการหาปริมาตรของปิระมิดสามเหลี่ยมเมื่อทราบพิกัดของจุดยอดทั้ง4คือ $(1,2,3),(2,1,4),(3,4,2)$และ$(4,3,1)$อาจจะต้องพึ่งความรู้ของเมตริกซ์4มิติ
...หรือจะมีปริมาตร$(V)$เท่ากับหนึ่งในหกของค่าสมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์แบบ4มิติ... คือถ้าให้... $$B=\bmatrix{1&2&3&1\\2&1&4&1\\3&4&2&1\\4&3&1&1}$$ จะหาปริมาตร$(V)$ได้คือ... $$V=(1/6)|det(B)|$$ ...หรือปิระมิดรูปนี้จะมีปริมาตรเท่ากับ...$(1/6)(8)$ แต่ถ้าใครเข้าใจการแปลงพิกัดแบบเวกเตอร์อาจจะกลับไปใช้เมตริกซ์เวกเตอร์แบบ3มิติได้ครับ
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#11
|
||||
|
||||
ความสัมพันธ์ระหว่างจุดและเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสามในระนาบ2มิติ
เช่นถ้ากำหนดจุด3จุดบนระนาบคือ...(2,2),(2,3)และ(3,4)
นำพิกัดทั้งสามมาเรียงแบบเมตริกซ์3มิติคือ... $$A=\bmatrix{2&2&1\\2&3&1\\3&4&1}$$ ...นำเมตริกซ์$A$มาหาadjoint..[adj(A)]จะได้... $$adj.(A)=\bmatrix{-1&2&-1\\1&-1&0\\-1&-2&2}$$ ...หรือสมการเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสามคือสมาชิกในแต่ละหลักของเมตริกซ์$adj.(A)$ดังนี้... ...หลักที่1...$(-1)x+(1)y+(-1)=0$ ...หลักที่2...$(2)x+(-1)y+(-2)=0$ และหลักที่3...$(-1)x+(0)y+(2)=0$ ...หรือสมการทั้งสามเส้นคือ... $x-y+1=0,2x-y-2=0และx-2=0$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#12
|
||||
|
||||
การหาจุดตัดของเส้นตรง3เส้นในระบบระนาบ2มิติ
...เช่นสมการเส้นตรง...
$x-y+1=0,2x-y-2=0และx-2=0$ สามารถหาจุดตัดทั้งหมดของเส้นตรงทั้ง3ได้ดังนี้ ...นำสัมประสิทธิ์ของเส้นตรงทั้งสามมาเรียงกันตามคอลัมน์เแบบเมทริกซ์3มิติดังนี้ $$A=\bmatrix{1&2&1\\-1&-1&0\\1&-2&-2}$$ ...ต่อด้วยการหาแอดจอยน์ของเมทริกซ์A... $$adj.(A)=\bmatrix{2&2&1\\-2&-3&-1\\3&4&1}$$ ...หลังจากนั้นพิจารณาหลักที่3ของadj.(A)ทำให้สมาชิกเป็น1ให้หมด ...จะได้ $$\bmatrix{2&2&1\\(-2)/(-1)&(-3)/(-1)&(-1)/(-1)\\3&4&1}$$ หรือได้... $$B=\bmatrix{2&2&1\\2&3&1\\3&4&1}$$ ..จะได้จุดตัดทั้ง3จุดคือสมาชิกในแต่ละแถวของเมทริกซ์$B$คือ.. $(2,2),(2,3)และ(3,4)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 16 มีนาคม 2020 15:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: สลับแถวสลับหลัก |
#13
|
||||
|
||||
การหาส่วนสูงของสามเหลี่ยมในระนาบ2มิติเมื่อกำหนดพิกัดมาให้
...เช่นถ้ากำหนดจุด3จุดบนระนาบคือ...$(2,2),(2,3)และ(3,4)$
นำพิกัดทั้งสามมาเรียงแบบเมตริกซ์3มิติคือ... $$A=\bmatrix{2&2&1\\2&3&1\\3&4&1}$$ ...หาเมตริกซ์อินเวอร์สของ$A$.. $$A^{-1}=\bmatrix{1&-2&1\\-1&1&0\\1&2&-2}$$ พิจารณาสมาชิกในแต่ละหลักเฉพาะ2แถวแรกคือ... ...หลักที่1...$1,-1$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1\\-1}...หาขนาดได้\sqrt{2}$ ...หลักที่2...$-2,1$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{-2\\1}...หาขนาดได้\sqrt{5}$ ...หลักที่3...$1,0$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1\\0}...หาขนาดได้1$ ...ขนาดของเมตริกซ์เวกเตอร์ในแต่ละหลักคือส่วนกลับของความสูงของสามเหลี่ยม ...หรือสรุปส่วนสูงทั้ง3ของสามเหลี่ยมคือ..$1/\sqrt{2}..,1/\sqrt{5}..และ1$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
#14
|
||||
|
||||
การหาส่วนสูงของปิรมิดสามเหลี่ยมในพิกัด3มิติ
...เช่นปิรมิดที่มีจุดยอด4จุดในพิกัด3มิติคือ...$(1,2,3),(2,1,4),(3,4,2)และ(4,3,1)$
นำพิกัดทั้งสี่มาเรียงแบบเมตริกซ์คือ... $$A=\bmatrix{1&2&3&1\\2&1&4&1\\3&4&2&1\\4&3&1&1}$$ ...หาเมตริกซ์อินเวอร์สของ$A$.. $$A^{-1}=\bmatrix{-5/8&3/8&1/8&1/8\\-1/8&-1/8&5/8&-3/8\\-4/8&4/8&4/8&-4/8\\27/8&-13/8&-23/8&17/8}$$ พิจารณาสมาชิกในแต่ละหลักเฉพาะ3แถวแรกคือ... ...หลักที่1...$-5/8,-1/8,-4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{-5/8\\-1/8\\-4/8}...หาขนาดได้\sqrt{42}/8$ ...หลักที่2...$3/8,-1/8,4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{3/8\\-1/8\\4/8}...หาขนาดได้\sqrt{26}/8$ ...หลักที่3...$1/8,5/8,4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1/8\\5/8\\4/8}...หาขนาดได้\sqrt{42}/8$ ...หลักที่4...$1/8,-3/8,-4/8$แทนเมตริกซ์เวกเตอร์$\bmatrix{1/8\\-3/8\\-4/8}...หาขนาดได้\sqrt{26}/8$ ...ขนาดของเมตริกซ์เวกเตอร์ในแต่ละหลักคือส่วนกลับของความสูงของสามเหลี่ยม ...หรือสรุปส่วนสูงทั้ง4ของปิระมิดสามเหลี่ยมคือ..$8/\sqrt{42},8/\sqrt{26},8/\sqrt{42},8/\sqrt{26}$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต 07 มกราคม 2020 11:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: เปลี่ยนเลข3เป็นเลข4 |
#15
|
||||
|
||||
การตรวจสอบการอยู่บนเส้นตรงเดียวกันของจุด3จุดในพิกัด3มิติ
...เช่น จุด$A(1,2,3),B(2,3,4)และC(3,4,5)$
จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่? ...นำพิกัดของทั้ง3จุดมาเข้ารูปแบบเมตริกซ์คือ.. $$\bmatrix{1&2&3\\2&3&4\\3&4&5}$$ ...นำเมตริกซ์ดังกล่าวมาหาค่าดิเทอมิแนนท์ ...จะสรุปได้หรือไม่เมื่อ $$\vmatrix{1&2&3\\2&3&4\\3&4&5}=0$$ ...จุดทั้งสามจึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต |
|
|