|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
48th IMO 2007, Hanoi, Vietnam
ข้อสอบวันแรก 25 กรกฎาคม 2550
อ้างอิงจาก mathlinks.ro 1. Real numbers $a_{1},\ a_{2}, \ldots,\ a_{n}$ are given. For each $i,\ (1 \leq i \leq n )$, define $$d_{i}= \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \}-\min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}$$ and let $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$. (a) Prove that, for any real numbers $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$, $$\max \{ |x_{i}-a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac{d}{2}. \quad \quad (*)$$ (b) Show that there are real numbers $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ such that the equality holds in (*). 2. Consider five points $A,\ B,\ C,\ D$ and $E$ such that $ABCD$ is a parallelogram and $BCED$ is a cyclic quadrilateral. Let $\ell$ be a line passing through $A$. Suppose that $\ell$ intersects the interior of the segment $DC$ at $F$ and intersects line $BC$ at $G$. Suppose also that $EF=EG=EC$. Prove that $\ell$ is the bisector of angle $DAB$. 3. In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. (In particular, any group of fewer than two competitors is a clique.) The number of members of a clique is called its size. Given that, in this competition, the largest size of a clique is even, prove that the competitors can be arranged into two rooms such that the largest size of a clique contained in one room is the same as the largest size of a clique contained in the other room. 4. In triangle $ABC$ the bisector of angle $BCA$ intersects the circumcircle again at $R$, the perpendicular bisector of $BC$ at $P$, and the perpendicular bisector of $AC$ at $Q$. The midpoint of $BC$ is $K$ and the midpoint of $AC$ is $L$. Prove that the triangles $RPK$ and $RQL$ have the same area. 5. Let $a$ and $b$ be positive integers. Show that if $4ab-1$ divides $(4a^{2}-1)^{2}$, then $a=b$. 6. Let $n$ be a positive integer. Consider $S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$ as a set of $(n+1)^{3}-1$ points in the three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes, the union of which contains $S$ but does not include $(0,0,0)$.
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 26 กรกฎาคม 2007 20:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: เพิ่ม |
#2
|
||||
|
||||
ผมลองเข้าไปดูตาม link เห็นมีคนเริ่มเฉลยไปบ้างแล้ว ผมว่าน่าจะมีการรวบรวมวิธีเฉลยหลายๆ แบบ มาไว้ในกระทู้นี้
จะได้เป็นที่รวบรวมข้อมูลให้คนรุ่นต่อไปเข้ามาศึกษาต่อได้
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณพี่ nongtum และพี่ gonมากครับ
แปลเป็นภาษาไทยครับ IMO 2007 วันแรก 25 กรกฎาคม 2550 1. กำหนดจำนวนจริง $a_{1},\ a_{2}, \ldots,\ a_{n}$ เมื่อแต่ละ $i,\ (1 \leq i \leq n )$ นิยามให้ $$d_{i}= \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \}-\min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}$$ และให้ $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$. (a) จงพิสูจน์ว่า ทุกๆจำนวนจริง $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ จะได้ว่า $$\max \{ |x_{i}-a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac{d}{2} \quad \quad (*)$$ (b) จงแสดงว่ามีจำนวนจริง $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ ที่ทำให้สมการเป็นจริงใน (*) 2. พิจารณาจุด 5 จุด $A,\ B,\ C,\ D$ and $E$ ที่ทำให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยม $BCED$ มีวงกลมล้อมรอบ ให้ $\ell$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ โดยที่ $\ell$ ตัดกับส่วนของเส้นตรง $DC$ ที่ $F$ และตัดกับเส้นตรง $BC$ ที่ $G$ โดยที่ $EF=EG=EC$ จงพิสูจน์ว่า $\ell$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $DAB$ 3. ในการแข่งขันคณิตศาสตร์มีผู้เข้าร่วมแข่งขันบางคนเป็นเพื่อนกัน เรียกกลุ่มผู้เข้าร่วมแข่งขันแข่งขันว่า clique ถ้าสองคนใดๆในกลุ่มนั้นเป็นเพื่อนกัน (เรียกกลุ่มที่มีผู้เข้าร่วมแข่งขันน้อยกว่า 2 คนว่า clique เช่นเดียวกัน) จำนวนสมาชิกของแต่ละ clique เรียกว่า size ของ clique นั้นๆ ในการแข่งขันนี้ให้ size ของ clique ที่มากที่สุดเป็นจำนวนคู่ จงพิสูจน์ว่าเราสามารถจัดผู้เข้าร่วมแข่งขันให้อยู่ในห้องสองห้องโดยที่ size ของ clique ที่มากที่สุดในห้องแรกเท่ากับ size ของ clique ที่มากที่สุดในห้องที่สอง IMO 2007 วันที่สอง 26 กรกฎาคม 2550 4. ในสามเหลี่ยม $ABC$ เส้นแบ่งครึ่งมุม $BCA$ ตัดกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมอีกครั้งที่ $R$, ตัดกับเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากด้าน $BC$ ที่ $P$ และตัดกับเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากด้าน $AC$ ที่ $Q$ จุดกึ่งกลางของด้าน $BC$ คือ $K$ และจุดกึ่งกลางของด้าน $AC$ คือ $L$ จงพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม $RPK$ และสามเหลี่ยม $RQL$ มีพื้นที่เท่ากัน 5. ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่าถ้า $4ab-1$ หาร $(4a^{2}-1)^{2}$ ลงตัวแล้ว $a=b$ 6. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก พิจารณา $S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$ เป็นเซตของจุด $(n+1)^{3}-1$ จุดในพื้นที่ว่างสามมิติ(space) จงหาจำนวนระนาบ(planes)ที่น้อยที่สุดที่มี $S$ แต่ไม่รวมจุด $(0,0,0)$27 กรกฎาคม 2007 19:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 1a ก่อนแล้วกันครับ
ให้ $d=a_k-a_l$ ดังนั้น $k \leq l,x_l-x_k \geq 0$ ดังนั้น $|x_k-a_k|+|x_l-a_l|\geq |x_l-x_k+a_k-a_l|=|x_l-x_k+d| \geq d$ จะได้ว่า $max\{ |x_k-a_k|,|x_l-a_l| \} \geq \frac{d}{2}$ ดังนั้น $max\{ |x_i-a_i| \} \geq \frac{d}{2}$ 27 กรกฎาคม 2007 13:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#5
|
||||
|
||||
4.ผมขอเฉลยแค่แนวคิดนะครับ ช่วงนี้ผมไม่ค่อยมีเวลาด้วย ถ้าผิดตรงไหนก็ขออภัยด้วยนะครับ
ให้ o เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ ให้$kcp=a $ จะเห็นได้ชัดว่า$ okcl $ มีวงกลมล้อมรอบได้ ได้ว่า มุม$pol$=มุม$kcl$=2a พิจารณา$\bigtriangleup pkc$ ได้ มุม$ kpc=90-a $ จะได้ว่า$\bigtriangleup opq $เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่ง $op=oq$ ต่อ $or$ กับ $oc$ได้ว่าสามเหลี่ยม $roc$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ มุม$orp$=มุม$ocq$และ$or=oc $และจากที่$op=oq$ ได้ว่า$ \bigtriangleup rpo$ $\cong $ $\bigtriangleup cqo $ ได้ว่า $rp=cq $ ถ้าดูรูปดีๆไล่มุมไปเรื่อยๆได้ มุม$rpk$=มุม$rql$ ได้$[rpk]$=$\frac{1}{2}\bullet rp\bullet pk\bullet sin rpk$ และ $[rql]$=$\frac{1}{2}\bullet rq\bullet ql\bullet sinrql$ ซึ่งถ้าพิสูจน์ได้ว่า $rp\bullet pk=rq\bullet ql$ ก็จบการพิสูจน์ซึ่งทำได้โดยอาศัยtrigo แล้วก็พวกด้านต่างๆที่เท่ากันซึ่งเราได้พิสูจน์ไปแล้ว
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
03 สิงหาคม 2007 18:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tatari/nightmare เหตุผล: ไม่ได้พิมพ์เป็นlatex |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณพี่ gools ที่แปลเปนภาษาไทยให้ ผมอ่านอังกฤษไม่ค่อยออก เดี๊ยวผมจะลองทำข้อสอบดู
|
#7
|
||||
|
||||
ขอโทษนะครับ คือผมอ่านโจทย์ข้อ 6 ไม่clear อะครับ ช่วยไขกระจ่างให้ผมด้วยครับ ขอบคุณครับ
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#8
|
||||
|
||||
ข้อ6 แปล(ปรับ)ใหม่นิดหน่อยนะครับ "ให้หาจำนวนระนาบที่น้อยที่สุดที่ทำให้บรรจุทุกจุดใน $S$ แต่ไม่บรรจุจุด $(0,0,0)$"
|
#9
|
||||
|
||||
ช่วยดูให้ทีว่าทำอย่างนี้ได้ไหม
ข้อ5 $4ab-1|(4a^2-1)^2 $ ลงตัวแล้ว $4ab-1|4a^2-1 $ ลงตัวด้วย แล้วตั้งหารยาวจะได้เศษ $-1+\frac{a}{b}=0$ $\frac{a}{b}= 1$ $\therefore a=b $ ปล.คือพอดีเห็นเฉลยในlinkที่คุณnongtumให้มาเค้าสมมุติตัวแปรแล้วตั้งเป็นสมการเลย ไม่เข้าใจว่าทำไมต้องทำถึงขนานนั้น
__________________
I am _ _ _ _ locked |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จึงไม่จำเป็นเสมอไปครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#11
|
||||
|
||||
เฉลยข้อสอบ IMO มีที่ไหนครับ
|
#12
|
||||
|
||||
#11
ตามไปดูที่ลิงค์ mathlinks.ro ในหัวกระทู้เลยครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ข้อสอบแข่งขันอัจฉริยภาพ ช่วงชั้นที่ 4 Khonkaen Excellence Fair 2007 | kanji | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 11 | 22 มิถุนายน 2008 20:38 |
ผลผู้แทนประเทศปี 2007 ครับ | kanakon | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 10 | 23 เมษายน 2008 23:48 |
APMO 2007 | nooonuii | อสมการ | 8 | 30 เมษายน 2007 20:20 |
Vietnam Mathematical Olympiad 2005 problem 4 | gools | ข้อสอบโอลิมปิก | 8 | 18 มิถุนายน 2005 21:09 |
Vietnam Mathematical Olympiad 2005 problem 5 | gools | ข้อสอบโอลิมปิก | 2 | 15 พฤษภาคม 2005 19:01 |
|
|