|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ลิมิตของฟังก์ชันลู่ออก
โดยส่วนใหญ่แล้ว เรื่องลิมิตของฟังก์ชัน ถ้าเป็นลิมิตที่ลู่เข้าแล้วเราก็สามารถแทนค่าเพื่อหาลิมิตได้เลยเช่น
$$\lim_{x\to2}(x+2)=2+2=4$$หรือหากแทนค่าแล้วได้ $\frac{0}{0}$ เราก็มักจะใช้ conjugate คูณเพิ่มทั้งเศษและส่วน แล้วจึงแทนค่า เช่น $$\lim_{x\to1}(\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-\sqrt{4x}})=\lim_{x\to1}(-\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt{4x}}{3})=-\frac{4}{3}$$ส่วนในกรณีที่แทนค่าแล้ว ได้ส่วนเป็น 0 แต่เศษไม่เท่ากับ 0 แล้ว ส่วนใหญ่จะหาค่าไม่ได้ หรือไม่มีลิมิต เช่น $\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$ เมื่อแทนค่าจะได้ $\frac{1}{0}$ ถ้าลองวาดกราฟก็เห็นได้ชัดว่าลู่ออก และไม่สอดคล้องกับกฎลิมิตลู่เข้า คือ $\lim_{x\to a}f(x)$ จะหาค่าได้เป็นค่าคงที่ $L$เมื่อ $\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L$ ดังนั้นจึงสรุปว่า $\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$ หาค่าไม่ได้ ต่อจากนี้จะกล่าวถึงลิมิตของฟังก์ชันที่ลู่ออกสู่ค่าอนันต์เท่านั้น เราจะพิจารณาอย่างไรว่าลิมิตลู่ออกสู่ $-\infty$ หรือ $\infty$ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ แต่ละท่านมีวิธีคิดอย่างไรกันบ้างครับ $1) \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}$ $2) \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}$ $3) \lim_{x\to -2^+}(-\frac{x}{x+2})$ $4) \lim_{x\to 2^+}\frac{x-1}{x-2}$ $5) \lim_{x\to 2^-}\frac{x-1}{x-2}$ $6) \lim_{x\to 2}\frac{x-1}{(x-2)^2}$ $7) \lim_{x\to 0^-}\frac{x-2}{x^2-x}$ $8) \lim_{x\to 0^+}\frac{x-2}{x^2-x}$ $9) \lim_{x\to \frac{1}{2}^+}\frac{1}{\sqrt{2x}-1}$ $10) \lim_{x\to \frac{1}{2}^-}\frac{1}{\sqrt{2x}-1}$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 01 เมษายน 2011 22:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#2
|
||||
|
||||
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ ไม่มีลิมิตไม่ใช่หรอครับ
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
|
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=\infty$ แล้วจะสรุปว่าไม่มีลิมิตหรือลิมิตหาค่าไม่ได้ดังที่ผมสรุปไปแล้วครับ แต่ในการเช็คลิมิตซ้าย-ขวา นี้ผมอยากทราบว่าแต่ละท่านมีวิธีคิดหาค่าอนันต์แบบนี้อย่างไรครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
|
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เรากล่าวว่า $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ ไม่มีลิมิต แต่ $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}$ หาค่าไม่ได้ แค่รู้ว่าลู่ออกสู่ $-\infty$ ใช่มั้ยครับ ขอบคุณคุณ Influenza_Mathematics มากครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ส่วนคำว่าหาค่าไม่ได้ เขาใช้กับลิมิต เช่น $\lim_{x\to a}f(x)$ หาค่าไม่ได้ สังเกตได้จากหนังสือแคลคูลัสทั่วไป เวลาโจทย์ถามเกี่ยวกับ ลิมิต มักจะถามว่า ลิมิต มีค่าหรือไม่ หรือถามว่าจงหาค่าของลิมิต ถ้าลิมิตหาค่าได้ ถึงตอนนี้น่าจะตอบข้อสงสัยได้แล้วนะครับ |
#7
|
||||
|
||||
แล้วถ้า $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ แบบนี้เราจะบอกว่าลิมิตหาค่าได้ $-\infty$ หรือจะบอกว่าหาค่าไม่ได้กันครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#8
|
||||
|
||||
#7
ก็ต้องตอบว่า ไม่มีค่า ซิครับ แต่เราอาจอาจกล่าวได้ว่า $f(x) $ มีลิมิตเป็นลบอนันต์ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางซ้ายและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ การที่มีการพูดถึง มีลิมิตเป็นลบอนันต์ (ค่าลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด) หรือในทางกลับกัน ก็มีลิมิตเป็นบวกอนันต์ (ค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด) ก็เพราะใน cal I จะมีการนิยามเกี่ยวกับเรื่องนี้เพื่อนำไปใช้ใน ทบ.เกี่ยวกับลิมิต ถ้าสนใจสามารถศึกษาได้จาก หนังสือแคลคูลัส ทั่วไปได้ครับ |
#9
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
ทีนี้ผมรู้สึกสนใจกับฟังก์ชันที่มีลิมิตเป็นค่าอนันต์พวกนี้ครับ ว่าเราจะบอกถึงการลู่ออกของฟังก์ชัน ได้อย่างไร ว่าลู่ออกไปทางไหน จากโจทย์ที่ให้ไว้ อยากให้ลองพิจารณาค่าลิมิตครับ ว่ามีวิธีการคิดอย่างไร เช่น 1) $\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}$ เป็นลิมิตขวา นั่นคือ $x>1$ และเมื่อ $x\to 1$ แล้ว $x-1\to 0$ ทางขวา นั่นคือ $x-1>0$ ดังนั้นเมื่อตัวส่วนมีค่าน้อยมากๆจนเข้าใกล้ 0 แล้ว $\frac{1}{x-1}$ ก็จะมีค่ามากเป็นอนันต์ จึงได้ว่า $\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=\infty$ มีวิธีที่คิดง่ายกว่านี้มั้ยครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#10
|
||||
|
||||
พอคิดไปเรื่อยๆก็เลยอยากจะหาวิธีที่จะคิดได้ง่ายๆโดยไม่ต้องพิจารณาการลู่เข้าของค่าใดๆ
โดยใช้การแทนค่าตามปกติ แต่จะต้องนิยามบางจำนวนใหม่เสียก่อน ดังนี้ครับ $a,b$ เป็จำนวนจริงใดๆ 1) ลู่เข้าสู่ $0$ ทางซ้าย เขียนแทนด้วย $0^-$ 2) ลู่เข้าสู่ $0$ ทางขวา เขียนแทนด้วย $0^+$ 3) ลู่เข้าสู่ $a$ ทางซ้าย เขียนแทนด้วย $a^-$ และ $(a^-)<a$ 4) ลู่เข้าสู่ $a$ ทางขวา เขียนแทนด้วย $a^+$ และ $(a^+)>a$ 5) $(a^+)-a=0^+\ \ \ \ \ (a^-)-a=0^-$ 6) $(-a^+)+a=0^+\ \ \ \ \ (-a^-)+a=0^-$ 7) $(a^+)\pm b=(a^-)\pm b=a\pm b$ 8) $\frac{1}{0^-}=-\infty$ 9) $\frac{1}{0^+}=\infty$ ดังนั้นจากข้อ 1 จะได้ว่า $$\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{(1^+)-1}$$ $$=\frac{1}{0^+}=\infty$$ แต่ละท่านมีความเห็นว่าอย่างไรบ้างครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 14 เมษายน 2011 00:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper เหตุผล: เพิ่มข้อ 6) ขอบคุณน้องนัทที่ทำให้พบข้อบกพร่องครับ |
#11
|
||||
|
||||
ตามแนวทางนี้ แต่ละข้อก็จะคิดได้แบบนี้ครับ
$$2) \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{(1^-)-1}=\frac{1}{0^-}=-\infty$$ $$3) \lim_{x\to-2^+}(-\frac{x}{x+2})=-\frac{-2}{(-2^+)+2}=\frac{2}{0^+}=\infty$$ $$4) \lim_{x\to 2^+}\frac{x-1}{x-2}=\frac{2-1}{(2^+)-2}=\frac{1}{0^+}=\infty$$ $$5) \lim_{x\to 2^-}\frac{x-1}{x-2}=\frac{2-1}{(2^-)-2}=\frac{1}{0^-}=-\infty$$ 6) พิจารณา $$\lim_{x\to 2^+}\frac{x-1}{(x-2)^2}=\frac{2-1}{[(2^+)-2]^2}=\frac{1}{(0^+)^2}=(\frac{1}{0^+})^2=(\infty)^2=\infty$$ พิจารณา $$\lim_{x\to 2^-}\frac{x-1}{(x-2)^2}=\frac{2-1}{[(2^-)-2]^2}=\frac{1}{(0^-)^2}=(\frac{1}{0^-})^2=(-\infty)^2=\infty$$ ดังนั้น $\lim_{x\to 2}\frac{x-1}{(x-2)^2}=\infty$ $$7) \lim_{x\to 0^-}\frac{x-2}{x^2-x}=\frac{0-2}{(0^-)^2-(0^-)}=\frac{-2}{(0^-)(0-1)}=\frac{2}{0^-}=2(\frac{1}{0^-})=-\infty$$ $$8) \lim_{x\to 0^+}\frac{x-2}{x^2-x}=\frac{-2}{(0^+)(-1)}=\frac{2}{0^+}=\infty$$ $$9) \lim_{x\to\frac{1}{2}^+}\frac{1}{\sqrt{2x}-1}=\frac{1}{0^+}=\infty$$ $$10) \lim_{x\to \frac{1}{2}^-}\frac{1}{\sqrt{2x}-1}=\frac{1}{0^-}=-\infty$$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 14 เมษายน 2011 00:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#12
|
||||
|
||||
ข้อสังเกตที่ได้จากข้อ 7) และ 8) ถ้ามีติดเลขยกกำลัังเราจะใช้วิธีการดึงตัวร่วมออก
ดังนั้น จึงได้ว่า การยกกำลังยังใช้กฎเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนจริงครับ ต่อไปจะกล่าวถึงลิมิตเมื่อ $x$ ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์กันบ้าง เช่น $$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}$$ โดยทั่วไปจะต้องจัดรูปให้สามารถแทนค่าด้วย $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ ดังนั้นข้อนี้จึงทำการหารด้วย $x$ ทั้งเศษและส่วน จะได้ว่า $$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{1-0}=1$$ และอาจสรุปได้ว่าเราจะเปลี่ยนรูปให้แทนค่าได้โดยตัวส่วนไม่เท่ากับ 0 ต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยพจน์ที่มีกำลังสูงสุดของตัวส่วน เช่น ตัวอย่างต่อไปนี้ $Ex1$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{x^3+5x-1}$$ พจน์ที่มีกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ $x^3$ ดังนั้นเราจึงหารทั้งเศษและส่วนด้วย $x^3$ จะได้ว่า $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{x^3+5x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{12}{x^3}}{1+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=0$$ $Ex2$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+5x-1}{2x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}$$ $Ex3$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-5}{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x+1-\frac{5}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\infty$$ด้วยวิธีการนี้เราจึงแบ่งค่าลิมิตได้ 3 กรณีดังนี้ $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ 1) เท่ากับ $0$ เมื่อ $f(x)$ มีดีกรีน้อยกว่า $g(x)$ 2) $\frac{สปส. ดีกรีสูงสุดของ f(x)}{สปส. ดีกรีสูงสุดของ g(x)}$ เมื่อ $f(x)$ และ $g(x)$ มีดีกรีเท่ากัน 3) มีค่าเป็นอนันต์ เมื่อ $f(x)$ มีดีกรีมากกว่า $g(x)$ จากนี้จะกล่าวถึงลิมิตที่ลู่ออกเท่านั้น เราจะมีวิธีพิจารณาอย่างไรว่าค่าลิมิตลู่ออกไปสู่ $-\infty$ หรือ $\infty$ $1) \lim_{x\to\infty}(2x^2-3x+1)$ $2) \lim_{x\to\infty}(4x^5+x^2+4)$ $3) \lim_{x\to-\infty}(2x^4-x^3+2x-1)$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#13
|
||||
|
||||
จากที่ค้างไว้ เราจะใช้วิธีการแทนค่าเช่นเดิมเหมือนการแทนค่าด้วยจำนวนจริงตามปกติ
แต่เมื่อเป็นการแทนค่าด้วยค่าอนันต์จึงต้องเข้าใจก่อนว่า มันจะมีสมบัติพิเศษ ดังนี้ เมื่อ $a>0$ แล้ว $1. \infty\pm a=\infty\cdot a=\frac{\infty}{a}=\infty$ $2. \infty\cdot(-a)=\frac{\infty}{(-a)}=-\infty$ $3. -\infty\pm a=-\infty\cdot a=\frac{-\infty}{a}=-\infty$ $4. -\infty\cdot(-a)=\frac{-\infty}{(-a)}=\infty$ $5. \frac{1}{\infty}=0^+\ \ \ \ , \frac{1}{-\infty}=0^-$ $6. (\infty)^k=\infty$ $7. (-\infty)^k=\cases {\infty ,เมื่อ k เป็นจำนวนคู่\\-\infty , เมื่อ k เป็นจำนวนคี่}$ แต่ถึงจะกำหนดแบบนี้ก็ต้องทำความเข้าใจก่อนว่า เมื่อ $a\not= b$ แล้ว $a\cdot\infty\not=b\cdot\infty\ \ \,(\infty)^a\not=(\infty)^b$ ดังนั้นแล้วเมื่อมีการคูณจำนวนกับ $\infty$ เราจะใช้การดึงตัวร่วมเพื่อหาค่า เช่น $3\infty-2\infty=(3-2)\infty=\infty$ $\infty-2\infty=(1-2)\infty=-\infty$ $(-\infty)^2+3(-\infty)=(-\infty)^2(1+\frac{3}{(-\infty)})=(\infty)(1+0)=\infty$ เป็นต้น
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 14 เมษายน 2011 21:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#14
|
|||
|
|||
แบบนี้เป็น indeterminate form ครับ เอามาคำนวณแบบปกติไม่ได้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 14 เมษายน 2011 00:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#15
|
||||
|
||||
ครับ ตามปกติแล้วคำนวณไม่ได้ครับ แต่เพื่อให้หาค่าลิมิตโดยการแทนค่า $\infty$ เราจึงกำหนดให้มันคำนวณได้
(จริงๆนิยามใหม่พวกนี้ผมลองคิดดูเองเล่นๆครับว่ามันจะทำได้หรือเปล่า) ดังนั้นโจทย์ 3 ข้อที่ให้ไว้ก็จะทำแบบนี้ครับ $$1) \lim_{x\to\infty}(2x^2-3x+1)=2(\infty)^2-3(\infty)+1=(\infty)^2(2-\frac{3}{\infty}+\frac{1}{\infty^2})=\infty$$ $$2) \lim_{x\to-\infty}(4x^5+x^2+4)=4(-\infty)^5+(-\infty)^2+4=(-\infty)^5(4+\frac{1}{(-\infty)^3}+\frac{4}{(-\infty)^5})=-\infty$$ $$3) \lim_{x\to-\infty}(2x^4-x^3+2x-1)=2(-\infty)^4-(-\infty)^3+2(-\infty)-1=(-\infty)^4(2-\frac{1}{(-\infty)}+\frac{2}{(-\infty)^3}-\frac{1}{(-\infty)^4})=\infty$$ ลองดูอีกสักข้อนึงครับ $4) \lim_{x\to-\infty}\frac{4x^2-x+2}{2x-3}$ สิ่งที่ผมคิดนี้อาจผิดหลักการและไม่มีเหตุผลใดๆรองรับ เพียงแต่คิดขึ้นมาเพื่อหาค่าลิมิตอนันต์โดยการแทนค่าเท่านั้น อยากให้ทุกท่านช่วยพิจารณาทีครับว่าสามารถนำไปใช้ได้จริงหรือไม่อย่างไร เพราะผมคิดว่ายังไม่มีใครที่จะทำแบบนี้อ่ะครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
|
|