|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โปรดชั้แนะเรื่องการหารลงตัวด้วยครับ
จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก n และ k โดยที่ k เป็นจำนวนคี่
n(n+1) $\mid $ 2($1^k+2^k+...+n^k$) โปรดชี้แนะด้วยครับ
__________________
I LOVE MATHEMATICS |
#2
|
||||
|
||||
แบ่งเป็น
$n|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$ $(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$ และจาก $(n,n+1)=1$ จะได้ว่า $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$ ส่วนวิธีทำแต่ละขั้นตอน แนะ : $2(1^k+2^k+\cdots+(n-1)^k) = (1^k+2^k+\cdots+(n-1)^k)+((n-1)^k+(n-2)^k+\cdots+1^k)$ จับคู่ น่าจะออกครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 21 มีนาคม 2012 21:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับแต่ยังติดตรง $n+1$ $\mid$ 2($1^k+2^k+...+n^k$) ยังคิดไม่ออกซักที
__________________
I LOVE MATHEMATICS |
#4
|
||||
|
||||
จะใช้ induction ก็ได้ครับ แต่น่าจะยากไปถ้าเทียบกับแบบ #2
ถ้าทำแบบนั้นจะต่อก็ไม่ยากแล้วครับ เพราะ $$2(1^k+2^k+\cdots+n^k)=(1^k+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+\cdots+2n^k=nA$$ $$2(1^k+2^k+\cdots+n^k)=(1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k)+\cdots=(n+1)B$$ สำหรับบาง $A,B \in \mathbb{N}$
__________________
keep your way.
|
#5
|
||||
|
||||
ออกแล้วครับ ขอบคุณมากครับ
__________________
I LOVE MATHEMATICS |
#6
|
||||
|
||||
สมมติ ถ้าเราจะพิสูจน์ว่า $8\mid a^2-1$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนคี่ เราจะแยก $8$ เป็น $2x2x2$ ได้มั้ยครับ
และอีกอย่าง induction คืออะไรเหรอครับ รบกวนช่วยอธิบายหน่อยนะครับ
__________________
I LOVE MATHEMATICS |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้าจะพิสูจน์ข้อความนี้ก็ต้องแบ่งเป็นกรณีครับ คือ จำนวนเต็มคี่ใดๆสามารถเขียนได้ในรูปของ $a=4n+1,4n+3$ เท่านั้น ซึ่งไม่ว่าจะเป็นกรณีใด ก็จะทำให้ $a^2-1=8k$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$ เสมอ ส่วนคำถามที่สอง คือการพิสูจน์อย่างมีระบบครับ เช่น ในที่นี้เราต้องการพิสูจน์ว่า $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$ ทุกจำนวนคี่บวก $k$ เราก็ให้ $P(k)$ แทนข้อความดังกล่าว ชัดเจนอยู่แล้วว่า $P(1),P(3)$ เป็นจริง (หรือก็คือ ในกรณีที่ $k=1,3$ ข้อความดังกล่าวเป็นจริง) ต่อไปเราก็สมมติให้ $P(k)$ เป็นจริง เราต้องแสดงให้ได้ว่า $P(k+2)$ ก็เป็นจริง (เพราะถ้าเป็นเช่นนั้นแล้ว $P(k+4),P(k+6),P(k+8),...$ ก็จะเป็นจริงไปด้วยเช่นกัน) แต่จริงๆแล้วข้อนี้ใช้ strong induction ครับ คือแทนที่จะสมมติ $P(k)$ เป็นจริง แล้วพิสูจน์ $P(k+2)$ เราก็สมมติ $P(1),P(3),...,P(k)$ เป็นจริง แล้วพิสูจน์ $P(k+2)$ ครับ
__________________
keep your way.
|
|
|