#1
|
|||
|
|||
ช่วยหน่อยนะ
จงแสดงว่า ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มซึ่ง (a,b)=1 แล้ว (a+b, a-b)=1 หรือ 2
|
#2
|
||||
|
||||
แบ่งเป็น 2 กรณี
กรณีแรก a และ b เป็นคี่ทั้งคู่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ $a = 2n+1$ , $b = 2n-1$ โดยที่ $(2n+1,2n-1)=1$ $(2n+1+2n-1,2n+1-2n+1) = (4n,2) = 2(2n,1) = 2(1) = 2$ กรณีที่สอง มีตัวใดตัวหนึ่งเป็นคู่ จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ $a = 2n+1 , b = 2n$ โดยที่ $(2n+1,2n)=1$ $(2n+1+2n,2n+1-2n) = (4n+1,1) = 1$ เพราะฉะนั้น $(a+b,a-b) = 1 หรือ 2$ ผมทำถูกรึเปล่าช่วยพิจารณาด้วยนะครับ
__________________
I LOVE MATHEMATICS |
#3
|
||||
|
||||
a = 2n+1, b = 2n-1 ควรใช้คนละตัวแปรกันนะครับ
วิธีง่ายๆ $(a,b) = (a,a+b) = 1$ $(2a,a+b) = 1 \ $หรือ$ \ 2$ $(a+b,a-b)= 1 \ $หรือ$ \ 2$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 23 มีนาคม 2012 11:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#4
|
||||
|
||||
แล้วเราจะพิสูจน์ตัวนี้ยังไงเหรอครับ ถ้า $(a,b) = 1$ แล้ว $(a+b,a^2-ab+b^2) = 1$ หรือ $3$ รบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ
__________________
I LOVE MATHEMATICS |
#5
|
||||
|
||||
เนื่องจาก $a^2-ab+b^2 = (a+b)(a-2b)+3b^2$
ดังนั้น $(a+b,a^2-ab+b^2) = (a+b,3b^2)$ แต่ $(a,b) = (a+b,b) = 1$ $(a+b,b^2) = 1$ ดังนั้น $(a+b,a^2-ab+b^2) = (a+b,3b^2) = 1 \ $ หรือ $ \ 3$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$(a+b,a-b)= 1 \ $หรือ$ \ 2$[/quote] มาไ้ด้ยังไงเอ่ย ผมอ่อนมาก |
#7
|
||||
|
||||
จาก $(a,a+b) = 1$
แบ่งกรณี ถ้า $(2,a+b) = 1$ จะได้ว่า $(2a,a+b) = 1$ ถ้า $(2,a+b) = 2$ นั่นคือ $2$|$(a+b)$ $a+b = 2k, \exists k \in \mathbb{Z}$ แต่ $(a,2k) = 1$ ดังนั้น $(a,k) = 1$ $(2a,a+b) = (2a,2k) = 2(a,k) = 2$ ดังนั้น $(2a,a+b) = 1$ หรือ $2$ บรรทัดต่อมา ใช้ $(x,y) = (x+py,y); x,y,p \in \mathbb{Z}$ จากเอกลักษณ์ แทนค่า $x = 2a, y = a+b, p = -1$ จะได้ $(2a,a+b) = (2a-a-b,a+b) = (a-b,a+b)$ ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#8
|
|||
|
|||
อ่อ..เข้าใจและ ขอบคุณมากๆๆๆครับ^^
|
|
|