#1
|
|||
|
|||
ข้อสอบ IMO 2004
วันแรก
|
#2
|
|||
|
|||
วันที่สอง
|
#3
|
||||
|
||||
ขอลองข้อที่ 2 วันแรกก่อนแล้วกัน
จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ สอดคล้องกับสมการ P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(a + b + c) ... (*) สำหรับทุกจำนวนจริง a, b, c ซึ่ง ab + bc + ca = 0 ขั้นที่ 1 : จะแสดงว่า P(0) = 0 ดังนี้ 0ท0 + 0ท0 + 0ท0 = 0 ฎ แทน a = b = c = 0 ลงไปใน (*) จะได้ว่า P(0) + P(0) + P(0) = 2P(0 + 0 + 0) ฎ P(0) = 0 ขั้นที่ 2 : จะแสดงว่า P(x) เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนี้ ให้ a = x, b = c = 0 จะได้ว่า P(x - 0) + P(0 - 0) + P(0 - x) = 2P(x + 0 + 0) ฎ P(-x) = P(x) ขั้นที่ 3 : จะแสดงว่า P(x) = a2x2 + a4x4 + ... + a2mx2m ดังนี้ สมมติให้ P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn ... (1) \ P(-x) = a0 - a1x + a2x2 - a3x3 + ... + an(-x)n ... (2) เทียบสัมประสิทธิ์ของ x กำลังใด ๆ ระหว่าง (1) กับ (2) จะได้ว่า a1 = a3 = a5 = ... = 0 \ P(x) = a0 + a2x2 + a4x4 + ... + a2mx2m สำหรับจำนวนเต็มบวก m ใด ๆ แต่ P(0) = 0 ฎ a0 = 0 ฎ P(x) = a2x2 + a4x4 + ... + a2mx2m = Si = 1ma2ix2i ขั้นที่ 4 : จะแสดงว่า m ฃ 2 (6x)(3x) + (3x)(-2x) + (-2x)(6x) = 0 ฎ P(3x) + P(5x) + P(8x) = 2P(7x) ... [ Note P(-8x) = P(8x) ] เทียบสัมประสิทธิ์ของ x2i ใด ๆ จาก P(x) ในขั้นที่ 3 จะได้ว่า 32i + 52i + 82i = 2(72i) หรือ 9i + 25i + 64i = 2(49i) เมื่อ i = 1 จะได้ว่า 9i + 25i + 64i = 9 + 25 + 64 = 98 และ 2(49i) = 2(49) = 98 เมื่อ i = 2 จะได้ว่า 9i + 25i + 64i = 81 + 625 + 4096 = 4802 และ 2(49i) = 2(49)2 = 4802 เมื่อ i ณ 3 จะพิสูจน์ว่า 9i + 25i + 64i > 2(49i) ดังนี้ ให้ P(n) แทนข้อความ 64n > 2(49n) ทุกจำนวนนับ n ณ 3 ขั้นฐาน : P(3) = 643 = 262,144 > 2(49)3 = 235,298 ขั้นอุปนัย : สมมติให้ 64k > 2(49k) ทุกจำนวนนับ k จะแสดงว่า P(k + 1) เป็นจริง ดังนี้ ถ้า 64k > 2(49k) แล้ว 64(64)k > 64(2)(49k) = 128(49k) > 98(49k) = 2(49)(49k) นั่นคือ 64k + 1 > 2(49)k + 1 \ P(k + 1) เป็นจริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จึงสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง ทุกจำนวนนับ n ณ 3 \ 64i > 2(49i) ฎ 9i + 25i + 64i > 2(49i) \ P(x) = a2x2 + a4x4 หรือ P(x) = dx2 + ex4 สำหรับ d, e ฮ R ใด ๆ ขั้นที่ 5 : ตรวจสอบว่า P(x) = dx2 + ex4 สอดคล้องตามเงื่อนไขโจทย์ เรารู้ว่า ถ้า x + y + z = 0 แล้วจะได้ว่า 1) x2 + y2 + z2 = -2(xy + yx + zx) 2) x4 + y4 + z4 = 2(xy + yz + zx)2 (Note : พิสูจน์เอาเอง ขี้เกียจพิมพ์แล้ว , พิสูจน์ได้อย่างน้อย 2 วิธี คือ ก. ถ้าสมการ x3 + px2 + qx + r = 0 มีรากของสมการเป็น a, b, c แล้วจะได้ว่า Sn + pSn - 1 + qSn - 2 + rSn - 3 = 0 เมื่อ Sn = an + bn + cn , n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ข. ให้ (1 + ax)(1 + bx)(1 + cx) = 1 + px + qx2 + rx3 จากนั้นจึง Take log แล้วใช้ log(1 + x) = x - x2/2 + x3/3 - ... แล้วจึงเทียบสัมประสิทธิ์ของ x2, x4 ) \ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = -2[ (a - b)(b - c) + (b - c)(c - a) + (c - a)(a - b) ] = ... กระจายแล้วจัดรูปจะได้ -2[ (ab + bc + ca) - (a2 + b2 + c2) ] = 2(a2 + b2 + c2) = 2(a + b + c)2 [ เพราะ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 ] และ (a - b)4 + (b - c)4 + (c - a)4 = 2[ (a - b)(b - c) + (b - c)(c - a) + (c - a)(a - b) ]2 = 2(a2 + b2 + c2)2 = 2(a + b + c)4 \ จาก (*) และ P(x) = dx2 + ex4 จะได้ว่า L.H.S. : P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = d[ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] + e[ (a - b)4 + (b - c)4 + (c - a)4] = 2(a + b + c)2 + 2(a + b + c)4 R.H.S : 2P(a + b + c) = 2d(a + b + c)2 + 2e(a + b + c)4 \ L.H.S = R.S.H จึงได้ว่า P(x) = dx2 + ex4 เป็นฟังก์ชันที่ต้องการ
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 28 กรกฎาคม 2004 12:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#4
|
||||
|
||||
ต่อด้วย ข้อที่ 4 วันที่สอง
กำหนดจำนวนเต็ม n ณ 3 และให้ t1 , t2, ... , tn เป็นจำนวนจริงบวกที่ทำให้ n2 + 1 > (t1 + t2 + ... + tn)(1/t1 + 1/t2 + ... + 1/tn) จงแสดงว่า ti, tj, tk เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเสมอ ทุก i, j, k ซึ่ง 1 ฃ i < j <k ฃ n วิธีทำ ต้องการพิสูจน์ว่า ti + tj > tk ทุก 1 ฃ i < j <k ฃ n จะพิสูจน์โดยการหาข้อขัดแย้ง ขั้นที่ 1 : พิจารณาผลคูณของ (t1 + t2 + ... + tn)(1/t1 + 1/t2 + ... + 1/tn) ซึ่งเมื่อกระจายออกมา จะมีการคูณกันทั้งสิ้น n2 ครั้ง และ ได้เป็น n + S 1 ฃi < j ฃn(ti/tj + tj/ti) ตามเงื่อนไขโจทย์แสดงว่า n + S(ti/tj + tj/ti) < n2 + 1 หรือ S(ti/tj + tj/ti) < n2 - n + 1 ... (*) ซึ่งจะมีจำนวนพจน์ทั้งหมด (n2 - n)/2 พจน์ (1 วงเล็บคิดเป็น 1 พจน์) อสมการนี้จะไม่เป็นจริงเมื่อไร ? ก็เมื่อ S(ti/tj + tj/ti) ณ n2 - n + 1 โดย A.M. - G.M. จะได้ว่า (ti/tj + tj/ti) ณ 2 ดังนั้นโดยปกติแล้ว S(ti/tj + tj/ti) จะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับ n2 - n แต่ถ้าเราต้องการให้มันมีค่าอย่างน้อยเป็น n2 - n + 1 จะต้องหมายความว่าอะไรได้บ้าง ? สมมติว่าเราแบ่ง S(ti/tj + tj/ti) ออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ กลุ่มที่หนึ่งมี m พจน์ กลุ่มที่สอง ก็จะมี (n2 - n)/2 - m สมมติให้คิดว่าแต่ละพจน์ในกลุ่มที่สอง มีค่าอย่างน้อยคือ 2 เท่าเดิม ดังนั้นผลบวกในกลุ่มที่สองจะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับ 2[ (n2 - n)/2 - m ] = n2 - n - 2m \ ถ้าเราอยากให้ผลบวกของทั้งหมดมีค่าอย่างน้อย n2 - n + 1 แสดงว่าผลบวกของจำนวนทั้งหมด m พจน์ในกลุ่มที่หนึ่งจะต้องมีค่าอย่างน้อย 2m + 1 เพราะ (n2 - n + 1) - (n2 - n - 2m) = 2m + 1 ขั้นที่ 2 : สมมติให้ ti + tj ฃ tk ต้องการจะพิสูจน์ข้อความดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ ดังนี้ ti + tj ฃ tk ฎ (ti/tk) + (tj/tk) ฃ 1 ... (1) ถ้าเราบวกส่วนกลับของแต่ละตัวใน ด้านซ้ายมือของ (1) จะได้ครบคู่ คือเป็น (ti/tk + tk/ti) + (tj/tk + tk/tj) ซึ่งอยู่ในรูปแบบของS(ti/tj + tj/ti) โดยมี 2 พจน์ หรือ m = 2 (ซึ่งคือจำนวนกลุ่มของกลุ่มที่หนึ่ง ในขั้นที่ 1) และ จะได้ว่า 2m + 1 = 2(2) + 1 = 5 สมมติให้ a = ti/tk และ b = tj/tk จาก (1) ก็จะได้ว่า a + b ฃ 1 ... (2) \ (ti/tk + tk/ti) + (tj/tk + tk/tj) = (a + 1/a) + (b + 1/b) \ การพิสูจน์ว่า ti + tj ฃ tk ;ว่าเป็นไปไม่ได้ ก็คือการพิสูจน์ว่า (a + 1/a) + (b + 1/b) ณ 5 เมื่อ a + b ฃ 1 นั่นเอง ขั้นที่ 3 : พิสูจน์ว่า (a + 1/a) + (b + 1/b) ณ 5 เมื่อ a + b ฃ 1 a + 1/a = (a2 + 1)/a = [ (a2 - a + 1/4) + a + 3/4 ] /a = [ (a - 1/2)2 + a + 3/4 ] /a ณ (a + 3/4)/a = 1 + 3/(4a) \ b + 1/b ณ 1 + 3/(4b) ฎ (a + 1/a) + (b + 1/b) ณ 2 + (3/4)(1/a + 1/b) = 2 + (3/4)(4) = 5 จบ. (เพราะ จากอสมการ A.M. ณ H.M. จะได้ว่า (a + b)/2 ณ 2/(1/a + 1/b) แต่จาก (2) จะได้ว่า (a + b)/2 ฃ 1/2 \ 2/(1/a + 1/b) ฃ 1/2 ฎ 1/a + 1/b ณ 4)
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 28 กรกฎาคม 2004 12:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
บทสัมภาษณ์นักคณิตศาสตร์รางวัล Abel Prize ปี 2004 | nooonuii | ฟรีสไตล์ | 1 | 26 พฤษภาคม 2005 18:06 |
|
|