|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
British Mathematical Olympiad
British Mathematical Olympiad
Round 2 : Tuesday, 1 February 2005 1. The integer N is positive. There are exactly 2005 ordered pairs (x,y) of positive integers satisfying \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{N} \] Prove that N is a perfect square. 2. In triangle ABC,ะBAC=120ฐ. Let the angle bisectors of angles A;B and C meet the opposite sides in D;E and F respectively. Prove that the circle on diameter EF passes through D. 3. 3. Let a; b; c be positive real numbers. Prove that \[ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2 ณ \left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \] 4. Let X = {A1,A2 ... An} be a set of distinct 3-element subsets of { 1,2, ... , 36 } such that i ) Ai and Aj have non-empty intersection for every i, j. ii ) The intersection of all the elements of X is the empty sets Show that nฃ100. How many such sets X are there when n = 100 ? ใช้เวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง และแต่ละข้อ 10 คะแนน |
#2
|
|||
|
|||
กำลังคั่วโจทย์อสมการอยู่ครับ แต่คิดไม่ออกง่ะ
เลยหันมาทำข้อ 1 แทนครับ ใครเป็นเซียนทฤษฎีจำนวนช่วยเช็คให้ผมด้วยครับว่าคิดถูกหรือปล่าว จัดรูปสมการใหม่เป็น (x-N)(y-N) = N2 ดังนั้น x-N,y-N คือ ตัวประกอบของ N2 ถ้า x-N หรือ y-N ตัวใดตัวหนึ่งเป็นตัวประกอบลบของ N2 จะทำให้ x หรือ y ตัวใดตัวหนึ่งติดลบด้วยซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขโจทย์ ดังนั้น x-N และ y-N คือตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดของ N2 สมมติให้ \[ \large{ N = p_{1}^{a_1}p_{2}^{a_2} \dots p_{k}^{a_k} } \] จะได้จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดของ N2 คือ \[ (2a_1 + 1)(2a_2 + 1) \dots (2a_k + 1) = 2005 = 5(401) \] เนื่องจาก 401 เป็นจำนวนเฉพาะ เราจึงได้ว่า kฃ2 ดังนั้นเราจะได้ว่า 2a1 + 1 = 1,5,401, หรือ 2005 และ 2a2 + 1 = 2005,401,5, หรือ 1 ซึ่งจะได้ว่า a1,a2ฮ {0,2,200,1002} นั่นคือ N เป็น perfect square
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ข้อ 3 ครับ
เราต้องการพิสูจน์ว่า \[ (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \] ซึ่งสมมูลกับ \[ \frac{c^{2}-2ac+ac+ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}-2ab+ab+bc}{b^{2}}+\frac{b^{2}-2bc+bc+ca}{c^{2}}\geq 3 \] เราจะพิสูจน์อสมการนี้แทน เนื่องจาก \[ \displaystyle{\begin{array}{rcl} LHS. &\geq& \frac{c^{2}-(a^{2}+c^{2})+ac+ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}-(a^{2}+b^{2})+ab+bc}{b^{2}}+\frac{b^{2}-(b^{2}+c^{2})+bc+ca}{c^{2}}\\ &=&\frac{ab+ac-a^{2}}{a^{2}}+\frac{bc+ab-b^{2}}{b^{2}}+\frac{bc+ca-c^{2}}{c^{2}}\\ &=& \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}-3\\ &\geq& 6-3 \quad\text{(โดยอสมการ AM-GM)}\\ &=& 3 \end{array}} \] จะได้ว่าอสมการเป็นจริงตามต้องการ 10 เมษายน 2005 03:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 2 ครับ
จากกฎของไซน์จะได้ว่า \[ \begin{array}{rcl} BF&=& \frac{\sin \frac{C}{2} \times CF}{\sin B}\\ &&\\ AF&=& \frac{\sin{\frac{C}{2}}\times CF}{\sin{120}^{\circ}} \\ &&\\ \therefore \qquad \frac{BF}{AF}&=&\frac{\sin{120}^{\circ}}{\sin{B}}=\frac{\sin{60}^{\circ}}{\sin{B}}\\ &&\\ \because \qquad \frac{BD}{\sin{60}^{\circ}}&=&\frac{AD}{\sin{B}}\\ &&\\ \frac{BD}{AD}&=&\frac{\sin{60}^{\circ}}{\sin{B}}=\frac{BF}{AF}\\ \end{array} \] ดังนั้นเส้น FD แบ่งครึ่งมุม ADB และพิสูจน์โดยวิธีเดียวกัน จะได้ว่าเส้น DE แบ่งครึ่งมุม ADC ทำให้ได้ว่า ะEDF=90ฐ ดังนั้นมีวงกลมที่ล้อมรอบ DDEF โดยที่มีเส้น EF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะได้ว่าวงกลมที่มีมีเส้น EF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางจะผ่านจุด D 11 เมษายน 2005 02:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#5
|
|||
|
|||
3. ทำง่ายกว่าที่คุณ gools เสนอได้ดังนี้ ให้ \( A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},B=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\) อสมการที่ต้องแสดงคือ \( A^2\geq3+A+B \)
ถ้า \(A\geq B \) ดังนั้น \( A^2\geq3A\geq3+A+B\) เพราะ \(A\geq3\) ถ้า \( A\leq B \) กระจาย \( A^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+2B\geq3+2B\geq3+A+B \) (โดยอสมการ AM-GM) 12 เมษายน 2005 08:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#6
|
|||
|
|||
\[ BRITISHMATHEMATICAL OLYMPIAD \]
\[ Round 1 : Wednesday 13th January 1993 \] 1. Find, showing your method, a six-digit integer n with the following properties: (i) n is a perfect square, (ii) the number formed by the last three digits of n is exactly one greater than the number formed by the first three digits of n. (Thus n might look like 123124, although this is not a square.) 2.A square piece of toast ABCD of side length 1 and centre O is cut in half to form two equal pieces ABC and CDA. If the triangle ABC has to be cut into two parts of equal area, one would usually cut along the line of symmetry BO. However, there are other ways of doing this. Find, with justification, the length and location of the shortest straight cut which divides the triangle ABC into two parts of equal area. 3. For each positive integer c, the sequence un of integers is defned by \[ u1=1,u2=c, un=(2n+1)un-1-(n2-1)un-2, (nณ3) \] 4. Two circles touch internally at M. A straight line touchesthe inner circle at P and cuts the outer circle at Q and R. Prove that \( ะQMP = ะRMP \) 5. Let x; y; z be positive real numbers satisfying \[ \frac{1}{3}ฃ xy+yz+zx ฃ 3 \] Determine the range of values for (i) xyz, and (ii) x+y +z. 12 เมษายน 2005 10:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Tony |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#9
|
|||
|
|||
ข้อสอบ BMO 1993-2005 ดาวโหลดได้จาก นี่ครับ http://www.bmoc.maths.org/home/bmolot.pdf
|
#10
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับสำหรับลิ้งก์ แล้วเค้ามีเฉลยให้มั้ยครับ
|
#11
|
|||
|
|||
นี่เลยครับ http://www.kalva.demon.co.uk/bmo.html
|
#12
|
|||
|
|||
ขอบคุณอีกครั้งครับ แต่มีเฉลยเฉพาะ Round 2 เท่านั้นเอง มิน่าคุณ Tony ถึงเอามาถาม
ข้อ 3. For each positive integer c, the sequence un of integers is defined by u1 = 1, u2 = c, un = (2n + 1)un-1 - (n2 - 1)un-2, (n ณ 3). For which values of c does this sequence have the property that ui divides uj whenever i ฃ j? วิธีทำของผมเป็นดังนี้ครับ (ใครมีวิธีที่ดีกว่าก็ช่วยบอกกันด้วยนะ) ถ้า u1 = 1, u2 = c เราจะได้ u3 = 7c - 8 เนื่องจาก u2 ต้องหาร u3 ลงตัว ดังนั้น c | 8 แสดงว่าค่า c ที่เป็นไปได้คือ 1, 2, 4, 8 เท่านั้น ถ้า c = 1 จะได้ u5 = -240 หาร u6 = -2280 ไม่ลงตัว ดังนั้น c = 1 ใช้ไม่ได้ ถ้า c = 8 จะได้ u3 = 48 หาร u4 = 312 ไม่ลงตัว ดังนั้น c = 8 ใช้ไม่ได้ ถ้า c = 2 เราจะได้ว่า un = n! และถ้า c = 4 เราจะได้ว่า un = (n + 2)!/6 (พิสูจน์โดย induction) ดังนั้นสำหรับทั้งสองกรณีนี้ ui | uj "i ฃ j ตามต้องการครับ |
#13
|
|||
|
|||
วิธีของผมเป็นดังนี้ครับ เขียนสมการเวียนบังเกิดใหม่ได้
\[ u_n-nu_{n-1}=(n+1)[u_{n-1}-(n-1)u_{n-2}]\Longrightarrow v_n=(n+1)v_{n-1} \] เมื่อกำหนดให้ \( v_n:=u_n-nu_{n-1} \) ดังนั้นแก้สมการได้ \( v_n=(n+1)!(c-2)/3! \) ซึ่งที่เหลือก็ทำคล้ายๆกับของคุณ warut นั่นเองครับ 13 เมษายน 2005 05:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#14
|
|||
|
|||
ว้าว...มองโจทย์ได้ทะลุปรุโปร่งจริงๆครับ
|
#15
|
|||
|
|||
ขอบคุณสำหรับลิงค์และการใช้คำสั่ง LaTeX นะครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ข้อสอบคัดตัว Olympiad สสวท. 2545 | ToT | ข้อสอบโอลิมปิก | 33 | 28 พฤศจิกายน 2007 18:04 |
Vietnam Mathematical Olympiad 2005 problem 4 | gools | ข้อสอบโอลิมปิก | 8 | 18 มิถุนายน 2005 21:09 |
Vietnam Mathematical Olympiad 2005 problem 5 | gools | ข้อสอบโอลิมปิก | 2 | 15 พฤษภาคม 2005 19:01 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 4 | 06 พฤษภาคม 2005 09:55 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 24 เมษายน 2005 02:12 |
|
|