|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ Calculus ไม่รู้เหตุผล
โจทย์ $$\int_{0}^{\frac{a}{2} }\,\sqrt{a^2-x^2} dx (a>0)$$
จะทำโดย ใ้ช้วิธี การอินทิเกรตโดยการแทนค่า [Sol] $$ ให้ x = asin\theta (-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}) $$ $$ แล้ว dx = a cos\theta d\theta $$ $$ เมื่อ x = 0 , \theta = 0 เมื่อ x = \frac{a}{2} , \theta = \frac{\pi }{6} $$ $$ \sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-(asin\theta )^2} = a\left|\,\right. cos\theta \left.\,\right| = acos\theta (\because cos \theta \geqslant 0) $$ $$ \therefore \int_{0}^{\frac{a}{2} }\,\sqrt{a^2-x^2} dx $$ $$= \int_{0}^{\frac{\pi }{6} }\,a^2cos^2\theta d\theta $$ $$ = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{6} }\,(1+cos2\theta )d\theta (\because cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta }{2}) $$ $$ = \frac{a^2}{2}\left[\,\right. \theta +\frac{1}{2}sin2\theta \left.\,\right] ( 0 ถึง \frac{\pi }{ุ6}) $$ $$ = (\frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3} }{8})a^2 $$ สงสัยว่า ตรง "$ ให้ x = asin\theta (-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}) $" ตรงเงื่อนไข $(-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2})$ เงื่อนไขนี้มาจากไหนครับ? ทำไมต้องให้เป็นเงื่อนไขนี้? ขอบคุณล่วงหน้าครับ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เมื่อแทนค่าแล้วจะได้$\left|\,\right. cos\theta \left.\,\right|$ เลยให้ช่วง $\theta$ ที่ทำให้ cos เป็นบวกมั้งครับ |
#3
|
||||
|
||||
เพราะว่า เมื่อกำหนดให้ $x = a\sin{\theta}$ แล้ว ในทางกลับกัน $\sin^{-1}{(\frac{x}{a})} = \theta$
เช่นกัน และ ฟังก์ชัน $arcsin$ มี Range อยู่ในช่วง $\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \,\right] $ เมื่อเราแทนค่าด้วยฟังก์ชันอื่น ก็เหตุผลเดียวกัน
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี 24 พฤษภาคม 2010 02:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -InnoXenT- |
#4
|
||||
|
||||
ที่ใส่เงื่อนไขก็น่าจะเป็นที่ตรง $\sqrt{a^2-x^2} $
เพราะมีแสควร์รูทแล้ว ข้างในต้องมากกว่า 0 ดังนั้น $x^2\leqslant a^2 \Rightarrow -a\leqslant x\leqslant a$ หรือพูดง่ายๆก็คือ เราสามารถเปลี่ยน x ให้อยู่ในรูปของ a ได้เป็น $x=asin\theta$ หรือ $x=acos\theta $ แต่ถ้าเราใช้ cos มันจะยุ่งยากตรงถอด absolute น่ะครับ เลยต้องใช้ $x=asin\theta $ และก็ต้องกำหนดของเขตของ $\theta $ เพื่อความง่ายในการหาค่า $\theta $ เมื่อเทียบกับ x (ไม่งั้นจะได้ค่า $\theta $ มามากมายจากฟังก์ชันตรีโกณ) |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
หาโจทย์ calculus และ ตรีโกณมิติ ที่เป็นภาษาอังกฤษ | konkoonJAi | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 3 | 01 สิงหาคม 2008 07:49 |
calculus ช่วยคิดเล่นๆ | กิจ | Calculus and Analysis | 12 | 30 พฤศจิกายน 2007 17:44 |
~ รบกวนถามโจทย์คณิตศาสตร์หน่อยครับ Calculus I ~ | Montimedia™© | Calculus and Analysis | 9 | 09 สิงหาคม 2007 22:18 |
calculus ในฟิสิกส์ | kanakon | Calculus and Analysis | 2 | 12 พฤษภาคม 2007 19:19 |
ถามเรื่อง Calculus หน่อยครับ | Hell | Calculus and Analysis | 7 | 02 ตุลาคม 2001 22:59 |
|
|