|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ค่าย1 2554 suankularb
... แก้ข้อ 2.1 เศษ $[5n]! เป็น [12n]!$ พีชคณิต 1. จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y$ ทั้งหมด ที่ทำให้ $$x^2 + 40x + 2011 = y^2$$ 2.ถ้า $a,b,c,d > 0$ และ $a^4 + b^4 +c^4 +d^4 = 4abcd $แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a=b=c=d$ 3.จงหารากของสมการ $$\lfloor x \rfloor \{x\} + x = 2\{ x \} + 10$$ 4.จงหารากของสมการ$$ \frac{13x-x^2}{x+1} \left( x + \frac{13-x}{x+1} \right) =42$$ 5.จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ทำให้ $$\left(P \left( x \right) ^2 \right) - p \left( x-1 \right) = 4x^4 +4x^3 +11x^2 + 9x +5 $$ ปล.อยากทราบจังครับ ปกติแล้ว คนสุดท้ายรอบนี้ตัดที่เท่าไหร่ 23 ตุลาคม 2011 01:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 เหตุผล: เพิ่มเติม๓าพ |
#2
|
||||
|
||||
โจทย์อสมการข้อ 4 มันช่าง....ล้ำลึก
0.25-0.5 Solution พีช 1. จะได้ $1611=(x+y+20)(y-x-20)$ พีช 2. เนื่องจากเป็นพีช ไม่ใช่อสมการ เราจัดรูปได้ $(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0$ พีช 3. ให้ $a=\left\lfloor\, x \right\rfloor ,b=\left\{\, x \right\} $ จะได้ $a+b=x$ สมการคือ $ab+a+b=2b+10$ นั่นคือ $(a-1)(b+1)=9$ พีช 4. ให้ $y=\frac{13-x}{x+1}$ นั่นคือ $x+y+xy=13$ แต่จากโจทย์ $xy(x+y)=42$ เราก็สามารถแก้หา x ได้ไม่ยาก พีช 5. -*- $4x^2???$ น่าจะ $4x^4$ ป่ะ |
#3
|
||||
|
||||
#2 ใช่แล้วครับ
ปล.ปีนี้คะแนนสอบแต่ละวิชาต้องถึง 10/50 ไม่งั้นจะไม่รับพิจารณา ปล2. ข้อ 5.1 ของวิชาอสมการ ทำอย่างไรครับ 21 ตุลาคม 2011 15:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ1$(x,y)=(65,99),(247,270),(785,806) $
ข้อ3$x=\frac{34}{5},\frac{15}{2} ,\frac{58}{7} ,\frac{73}{8} $ ข้อ4$x=1,6,3+\sqrt{2},3-\sqrt{2} $ ข้อ5$P(x)=2x^2+x+3$ |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ $3 \ \ \ \ x=10$ ได้หนิครับ
20 ตุลาคม 2011 23:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#6
|
|||
|
|||
Hint :
พิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า m+1 และ n-2 อยู่ใน form $21k^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม k
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#7
|
||||
|
||||
แวะมาบอกว่าอสมการข้อสองใหญ่ คิดลึกไปมันจะยากเพราะอสมการนี้มัน weak กว่าปกติ คิดตื้นๆแล้วจัดรูปก็สวยดีครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#8
|
||||
|
||||
ข้อ1ใหญ่ทำอย่างไรหรอครับ
|
#9
|
||||
|
||||
ปีนี้ไม่มี combinatorics หรอครับ
|
#10
|
||||
|
||||
ไม่แน่ใจนะว่าโจทย์เป็นอย่างนี้หรือเปล่า มองไม่ค่อยชัด, สำหรับ $a,b,c>0$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \ge \frac{a+b+c}{3}$$
ใช้ lemma นิดหน่อยคือ $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$ พิสูจน์โดยจัดรูปและ AM-GM พิจารณา $A=\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ และ $B=\sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$ ได้ว่า $A-B=a-b+b-c+c-a=0$ ดังนั้น $A=B$ และจาก $2ab \le a^2+b^2$ ฉะนั้น $A \ge \sum \frac{a^3}{(3/2)(a^2+b^2)}=\frac{2}{3} \cdot \sum \frac{a^3}{a^2+b^2}$ ทำนองเดียวกัน, $B \ge \frac{2}{3} \cdot \sum \frac{b^3}{a^2+b^2}$ แต่โจทย์คือ $A=(1/2)(A+B) \ge \frac{1}{3} \cdot \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$ พิสูจน์ได้ไม่ยากจาก lemma ว่า $a^3+b^3 \ge \frac{1}{2} (a^2+b^2)(a+b)$ จึงได้ว่า $A \ge \frac{1}{3} \cdot (1/2)(a+b+b+c+c+a) =\frac{a+b+c}{3}$
__________________
keep your way.
|
#11
|
||||
|
||||
#9 เติมให้แล้วครับ
#10 โหดจริงครับ ก็ว่าทำไมทำไม่ได้ |
#12
|
||||
|
||||
ie ข้อ 1 ยังไม่โหดเท่าข้อ 3 ครับ ขอเวลาคิดก่อนๆ
__________________
keep your way.
|
#13
|
||||
|
||||
ทำได้เยอะขนาดนี้เตรียมตัวเข้าค่าย 2 ได้เลย
ข้อ 1 มีอีกวิธีที่ทำได้คือใช้ Engel form คูณกระจายออกมาแล้ว SOS,SOS-Schur,PQR อย่างใดอย่างหนึ่งน่าจะหลุด ข้อ 3 มันแข็ง นิดๆหน่อยๆก็ตกขอบแล้ว ต้องมีวิธี Sharp Bound แน่นอน เห็นแล้วนึกถึงโจทย์เก่าๆที่ได้ชื่อว่า (stronger than Schur พอจะนึกออกไหมครับ) ส่วนตัวคิดดูจริงๆจังๆแล้วไม่ออกครับ ยังหาวิธีดีๆไม่ได้
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#14
|
||||
|
||||
บางข้อที่ทำไปก็ผิดครับ
แต่ อสมการ ผมว่ามันยากจังทำไม่ได้เลย ไม่น่ายากขนาดนี้เมื่อเทียบกับทฤษฎีจำนวน |
#15
|
||||
|
||||
ในที่สุดก็หลุดซะทีอสมการข้อ 3 ใช้ PQR Method เข้าไปตีครับ
Lemma 1.$p^2-3q \geq 0$ 2.$p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0$ อสมการแรกสมมูลกับ $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0$ ซึ่ง Well-known อสมการที่สองสมมูลกับอสมการ Schur ดีกรี 2 $x^2(x-y)(y-z)+y^2(y-x)(y-z)+z^2(z-x)(z-y) \geq 0$ ให้ $p=x+y+z$ และ $q=xy+yz+zx$ และ $r=xyz$ เอามายกกำลังสองก่อน $(p^2-q)^2\geq \sum 4x^2y^2+\sum 4xy\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}$ มาถึงตรงนี้ถ้า Bound พลาดนิดเดียวมันจะตกขอบ $4xy\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\leq 4xy(\frac{2z^2+x^2+y^2}{2})=4xyz^2+2x^3y+2xy^3$ เพราะฉะนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $\sum 4x^2y^2+4xyz(x+y+z)+2(\sum x^3y+\sum xy^3) \leq (p^2-q)^2$ ต่อไปผมจะเปลี่ยนตัวแปรทุกตัวให้อยู่ในรูป $p,q,r$ ให้หมด สร้างเอกลักษณ์จากการกระจาย $(x+y+z)^4$ ออกมาจะได้ว่า $2(\sum x^3y+\sum xy^3)=2p^2q-2pr-4q^2$ ดังนั้นอสมการสมมูลกับ $4(q^2-2pr)+4pr+2p^2q-2pr-4q^2\leq p^4-2p^2q+q^2$ ซึ่งสมมูลกับ $p^4+q^2+6pr-4p^2q \geq 0$ เขียนอสมการใหม่เป็น $(p^4-5p^2q+4q^2+6pr)+q(p^2-3q) \geq 0$ แต่ว่า $p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0$ และ $p^2-3q \geq 0$ จริงจาก Lemma จบการพิสูจน์ (จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ใช้อะไรหลายๆอย่างมาประยุกต์รวมๆกัน ซึ่งผมมีความเห็นว่ายากเกินกว่าที่จะเป็นโจทย์สอวน.ค่าย 1 ทางที่ดีนะครับสำหรับเส้นทางสายโอลิมปิกนี้ เราควรจะมีอาวุธติดตัวให้เยอะที่สุดและใช้ให้ชำนาญเป็นการดี เพราะโจทย์บางข้อต้องเขียนพิสูจน์ส่งอาจารย์มันต้องทำในเวลาที่จำกัด และมันเป็นการยากที่เราจะเขียนอะไรที่มันสร้างสรรค์มากๆออกมา อธิบายมากไม่ได้ครับ เพราะผมเองก็ไม่ได้แตะของพวกนี้มานานมากๆแล้ว ทำโจทย์เยอะๆเป็นคำแนะนำสุดท้ายครับ )
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 23 ตุลาคม 2011 02:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ข้อสอบ ป.6 TME 2554 | คณิตสระบุรี | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 24 | 29 สิงหาคม 2012 10:58 |
ข้อสอบ PAT1 คณิตศาสตร์ ครั้งที่ 1/2554 (เดือนมีนาคม 2554) ฉบับเต็ม | sck | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 37 | 10 กันยายน 2011 00:54 |
โครงการประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (TME) ครั้งที่ 2 (ปี 2554) | mathcat | ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย | 9 | 06 มิถุนายน 2011 00:58 |
กำหนดการสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎประจำปี 2554 ค่ะ | thyme | ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น | 3 | 31 พฤษภาคม 2011 20:26 |
กำหนดการสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎประจำปี 2554 ค่ะ | thyme | ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย | 0 | 26 พฤษภาคม 2011 13:22 |
|
|