|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Before สพฐ รอบ 1 & 2/2014
พอจะรวบรวมโจทย์แนว สพฐ ได้ส่วนหนึ่ง เลยเอามาฝากครับ
1. Simplify $ \frac{2014^4+4\cdot 2013^4}{2013^2+4027^2} - \frac{2012^4+4\cdot 2013^4}{2013^2+4025^2}$ 2. หาจำนวนเต็มบวก k มากสุดที่ $ 3^k | \underbrace{333....3}_{3^{2013} digits} $ 3. กำหนดจำนวนจริง a,b,c และ (a*b)*c = a+b+c หาค่า 2014*543 4.สามเหลี่ยม ABC มี P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมและ M เป็นจุดกึ่งกลาง AC ให้ MP ตัด (APB) ที่ Q (ต่างจาก P) ถ้า AQ= PC และ $A\hat{B}P = 48^{\circ} $ หาขนาด $M\hat{P}C $ 5. หาจำนวนนับ n น้อยสุดที่สามารถ ซอยลูกบาศก์ยาวด้านละ n เป็นลูกบาศก์ย่อย 2013 ชิ้นที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มได้ 6. มีจำนวนนับ N ไม่เกิน 2013 กี่จำนวน ที่ทำให้สมการ $$ x^{\left\lfloor\ x\right\rfloor} = N $$มีคำตอบในจำนวนจริง 7. กำหนดจำนวนนับ $ n \geq 3 $ , Simplify $$ \sqrt{\underbrace{11..1}_{n-1 digits}2\underbrace{88...8}_{n-2 digits} 96} $$ 8. สามเีหลี่ยม ABC มี M เป็นจุดกึ่งกลาง AB และ $ A\hat{C}M = 42^{\circ}$ และ $A\hat{B}C = 48^{\circ}$ หาขนาด $M\hat{C}B $ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ 9. หาจำนวนเต็ม x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ (x^2-y^2)^2 = 1+16y$ 10. เขียน 1 ถึง 20132013 และให้ a,b แทนจำนวนเลข 1,3 ที่เขียน ตามลำดับ หาค่า $ |a-b|$ 11. หาจำนวนจริง a ทั้งหมดที่ทำให้ $ a+ \sqrt{15}$ และ $ \frac{1}{a} - \sqrt{15}$ เป็นจำนวนเต็ม 12. cyclic ABCD ในวงกลมจุดศูนย์กลาง O ,มี K,L,M,N เป็นจุดบน AB,BC,CD,DA ตามลำดับ โดย AK=KB =6 , BL =3 ,LC =12 ,CM=4 ,MD =9 , DN= 18, NA=2 หาค่า $ \frac{360^{\circ}-N\hat{O}M}{N\hat{L}M}$ 13. ทาสีช่องในตาราง 10x10 โดย แต่ละแถว และ คอลัมน์ มีไม่เกิน 5 สีต่างกัน หาจำนวนสีมากสุดทั้งตาราง 14. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC โดย BA =BC และ BH เป็นส่วนสูง ,D อยู่บน รังสี AB และ CB แบ่งครึ่ง $A\hat{C}D $ ให้ E เป็นจุดบนส่วนสูง BH โดย DE =DC หาค่า $ \frac{ฺB\hat{D}E}{E\hat{D}C}$ ------------------------------------------------------------------------------------
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 09 กุมภาพันธ์ 2014 15:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by เหตุผล: Edit ข้อ 12,11 |
#2
|
||||
|
||||
อยากได้เฉลย+วิธีทำครับ
|
#3
|
|||
|
|||
วิธีทำ ยังให้ไม่ได้ตอนนี้หรอกครับ ไปทดดูก่อน
แต่ถ้าคำตอบ ดูด้านล่างครับ 1. 0 2. 2014 3. 2557 4. 48 5. 13 6. 412 7.$ \frac{10^n+8}{3} $ 8. 42, 48 9. $ (\pm 1,0) , (\pm 4, 3) , (\pm4,5) $ 10. 10041004 11. $ \pm4 -\sqrt{15} $ 12. 2 13. 41 14. 0.5
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#4
|
|||
|
|||
ให้ 2013=a จะได้ $\frac{(a+1)^4+4a^4}{a^2+(2a+1)^2}-\frac{(a-1)^4+4a^4}{a^2+(2a-1)^2}=(a^2+1)-(a^2+1)=0$
__________________
-It's not too serious to calm - Fighto! |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$3^k|3$ ผลบวกเลขโดด$=3$, $k=1$ $3^k|33$ ผลบวกเลขโดด$=6$, $k=1$ $3^k|333$ ผลบวกเลขโดด$=9$, $k=2$ $3^k|3333$ ผลบวกเลขโดด$=12$, $k=1$ . . . $ 3^k | \underbrace{333....3}_{3^{2013} digits}$ ผลบวกเลขโดด$=3\cdot3^{2013}=3^{2014}$ $\therefore k_{max}=2014$
__________________
-It's not too serious to calm - Fighto! |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Logic คือเริ่มจาก 333 ก่อนครับ ซึ่งพบว่า $3^2 || 333 $ จากนั้น ขยายจาก 333 ไปเป็น 333 333 333 นั่นคือเลข 3 9 ตัว แต่ 333 333 333 =333 (1001001) ซึ่งเทอมหลัง หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว ดังนั้น $ 3^3 || 333 \,\, 333 \,\, 333 $ แล้วค่อย generalize เป็น $ 3^{k+1} || \underbrace{333 \,\, 333 \,\, 333\,\,...333}_{3^k digits} = \underbrace{333 \,\, 333 \,\, 333\,\,...333}_{3^{k-1} digits}(100...100..1)$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ส่วนข้อ 10 แนะนำว่า ช่วง 1 ถึง 1 ล้าน a กับ b มันจะหักล้างกันเกือบหมด ให้นับหลังจากนั้น แล้วจะไม่ต้องทดเลขเยอะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 05 มกราคม 2014 02:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
-It's not too serious to calm - Fighto! |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$[1^1,2^1)\cup[2^2,3^2)\cup[3^3,4^3)\cup[4^4,5^4)$ ฉะนั้น จะมี $N$ จำนวน $2^1-1^1+3^2-2^2+4^3-3^3+5^4-4^4=412$ ตัว |
#9
|
|||
|
|||
ผมขยายความข้อ 6 ของคุณฟีนิกซ์เห็นฟ้า อีกครั้งแล้วกัน
จัดการกับตัว control ยากสุดของสมการก่อน คือ กำหนด $ \left\lfloor\,x\right\rfloor = n $ ดังนั้น $ x^n = N \Rightarrow x= N^{1/n}$ แทนค่ากลับ ได้สมการ $ \left\lfloor\, N^{1/n}\right\rfloor = n $ จากนิยามของ floor function จะได้ $ n \leq N^{1/n} < n+1 \Rightarrow n^n \leq N < (n+1)^n$ นั่นคือ ถ้า fix n ไว้ จำนวนนับ N ที่เป็นไปได้ จะอยู่ในช่วง $ [n^n , (n+1)^n)$ ซึ่งจะไปเชื่อมกับแต่ละช่วงที่คุณฟีนิกซ์เห็นฟ้าตอบไว้ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#10
|
|||
|
|||
@ คุณ Passer-by
ช่วยแนะข้อ $13.$ หน่อยครับ |
#11
|
|||
|
|||
ลองพิจารณา "กรณี เกือบ มากสุด " ก่อนครับ
อย่างโจทย์ บอกว่าทุกแถวไม่เกิน 5 สี ก็ลองพิจารณากรณีทุกแถว มีไม่เกิน 4 สี ก่อน ดูว่า ทั้งตารางจะ เต็มที่ได้กี่สี จากนั้น ลองขยับดูว่า ถ้ามีแถว 5 สีพอดีค่อยๆโผล่ทีละ 1 แถว maximum ที่หาไว้ มันจะขยับได้อีกมั้ย อย่าลืมว่า ในแนวคอลัมน์ก็ต้องไม่เกิน 5 สีด้วยนะครับ ดังนั้น เงื่อนไขมันจะชักเย่อกันอยู่ ยากสุด ตอนยกตัวอย่างตาราง กรณี เดาค่ามากสุดได้แล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
-It's not too serious to calm - Fighto! |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะใช้ setting แบบคุณแฟร์ ก็ได้ หรือ จะใช้แบบตัวอย่างด้านล่างก็ได้ โดยช่องขาวหมายถึงสีที่ 41 ตอนนี้เหลือแต่ รอคำอธิบายว่า ทำไม 41 มากสุด
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#14
|
|||
|
|||
Selected Solutions
่ พิจารณา ((a*b)*c)*d= (a+b+c)*d (a*b)+c+d = (a+b+c)*d Take a=b =0 จะได้ (0*0)+c+d = c*d ดังนั้น a+b+c =(a*b)*c = (a+b+(0*0))*c = a+b+c+2(0*0) $\Rightarrow $ 0*0 =0 สรุปว่า a*b =a+b สะท้อน P เทียบกับ M กลายเป็น Q' ดังนั้นสี่เหลียม APCQ' เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่ AQ =PC ดังนั้น สามเหลี่ยม AQQ' เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว and thus มุม MPC = 48 องศา ลากเส้นสัมผัส (ABC) ที่ C สรุปได้ไม่ยากว่า circumcenter O อยู่บน CM จากนั้นแบ่งเป็น 2 cases คือ (i) O ทับ M : ดังนั้นมุม C เป็นมุมฉาก และมุม MCB = 48 องศา (ii) O ไม่ทับ M : ดังนั้น OAB ,CAB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และมุม MCB = 42 องศา สะท้อน D เป็น D' เทียบกับ BH ดังนั้น D'DCA เป็นคางหมูหน้าจั่ว โดยมี เส้นตรง BH เป็นแกนสมมาตร และ verify ได้ไม่ยากว่า D',B,C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน and thus DD'=DC ต่อ BH ตัด DD' ที่ F ดังนั้น $ FD = \frac{1}{2} DD' = \frac{1}{2} DE \Rightarrow F\hat{E}D= 30^{\circ} $ ให้ มุม DCB = x ไล่มุมได้ไม่ยากว่า $ \frac{B\hat{D}E}{E\hat{D}C} = \frac{60-x}{120-2x} = \frac{1}{2}$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#15
|
||||
|
||||
ข้อ 12 พิมพ์โจทย์ผิดนะครับ
และคำตอบน่าจะน้อยกว่า2ด้วยครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Happy New year 2014 | Form | ฟรีสไตล์ | 2 | 02 มกราคม 2014 15:08 |
|
|