|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์เกี่ยวกับ group
ขอทดสอบสมาชิกภาพด้วยการโพสต์โจทย์สักข้อนะครับ
ถ้า G เป็น group ที่มีสมบัติว่า (ab)3 = a3b3 และ (ab)5 = a5b5 สำหรับทุกๆ a, b ฮ G ให้พิสูจน์ว่า G เป็น Abelian group (คือพิสูจน์ว่า ab = ba นั่นแหละครับ) คือผมอยากเห็นวิธีทำของคนอื่นๆบ้าง เพราะคิดว่าวิธีของผมยังไม่น่าจะใช่วิธีที่ดีที่สุดน่ะครับ 06 ธันวาคม 2001 18:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#2
|
||||
|
||||
ผมพยายามคิดเหมือนกันครับ.
เพียงแต่ว่าไม่ชำนาญเลยยังคิดไม่ออก ว่าแต่เราจะพิสูจน์ได้ว่า ถ้า a,b เป็นสมาชิกใน G ถ้า ab = ba แล้ว (ab)n = an bn ใช่ใหมครับ. อีกอันนึงก็ คือ (ab)-1 =b-1 a-1 ใช่ใหมครับ.
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 09 ธันวาคม 2001 13:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#3
|
||||
|
||||
งั้นมาดูวิธีของผมดีกว่า
(ab)3 = a3b3 (ab)(ab)(ab) = a3b3 (ba)2 = a2b2 \ (ab)2 = b2a2 ในทำนองเดียวกัน (ab)5 = a5b5 (ab)(ab)(ab)(ab)(ab) = a5b5 (ba)4 = a4b4 \ (ab)4 = b4a4 (ab)4 = [(ab)2]2 b4a4 = (b2a2)(b2a2) b2a2 = a2b2 (ab)2 = (ba)2 b2a2 = (ba)(ba) \ ab = ba
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 09 ธันวาคม 2001 17:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#4
|
|||
|
|||
วิธีของคุณ TOP เป็นแนวเดียวกับผมเลย...ดีใจจัง
ตอบคุณ gon: ใช่ครับถ้าเป็น Abelian group แล้วเนี่ยจะได้ว่า (ab)n = anbn ส่วน (ab)-1 = b-1a-1 นี่ก็เป็นจริงสำหรับทุก group อย่างที่คุณ gon บอกนั่นแหละครับ |
#5
|
|||
|
|||
ไม่รู้ว่าเนื้อหาเรื่อง group ในระดับม.ปลายนี่ในปัจจุบัน
ครอบคลุมถึงแค่ไหนเหมือนกัน ถ้าผมจำไม่ผิดรู้สึกจะมีคนเคย พูดใน webboard นี้ว่าเดี๋ยวนี้เค้าตัดเรื่อง group ออกไป แล้ว จริงเท็จอย่างไรใครทราบช่วยบอกด้วยนะครับ ยังไงก็ตามผมฝากโจทย์ไว้ให้อีกสักข้อแล้วกัน ซึ่งข้อนี้ผมบอก ไว้ก่อนว่าผมทำไม่ได้ แล้วก็ไม่มีเฉลยให้ด้วยนะครับ ใครทำ ได้ช่วยชี้แนะด้วยจะเป็นพระคุณยิ่ง ถ้า G เป็น group ที่มีสมบัติว่ามีจำนวนเต็ม i ที่ทำให้ (ab)i = aibi (ab)i+1 = ai+1bi+1 (ab)i+2 = ai+2bi+2 สำหรับทุกๆ a, b ฮ G ให้พิสูจน์ว่า G เป็น Abelian group |
#6
|
||||
|
||||
จาก (ab)m = ambm จะได้ว่า (ab)m-1 = bm-1am-1
จาก (ab)m+1 = am+1bm+1 จะได้ว่า (ab)m = bmam จาก (ab)m+2 = am+2bm+2 จะได้ว่า (ab)m+1 = bm+1am+1 ดังนั้น (ab)m = (ba)m และ (ab)m+1 = (ba)m+1 จะได้ว่า (ab)m(ab) = bmam(ab) (ab)m+1 = bmam+1b bm+1am+1 = bmam+1b bam+1 = am+1b หรือ abm+1 = bm+1a จะได้ว่า am+1babm+1 = bm+1abam+1 am+1babm+1 = abm+1am+1b am+1babm+1 = aam+1bm+1b am+1babm+1 = am+2bm+2 ba = ab (ครั้งแรกใช้วิธีนี้ แต่วิธีนี้ผิดครับ ) จาก (ab)2m+2 = [(ab)m+1]2 = (ab)m(ab)m+2 am+1bm+1am+1bm+1 = ambmam+2bm+2 abm+1am+1 = bmam+2b bm+1am+2 = bmam+2b bam+2 = am+2b bam+2 = abam+1 ba = ab
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#7
|
|||
|
|||
ว้าวๆๆ...อัจฉริยะจริงๆเลยนะเนี่ย นับถือๆ แล้วก็ขอบคุณมากครับสำหรับคำตอบ
|
#8
|
|||
|
|||
(ab)m+1 = am+1bm+1
(ab)(ab)m = am+1bm+1 (ab)(ambm) = am+1bm+1 bam = amb ทำนองเดียวกันจะได้ bam+1 = am+1b (bam)a = am+1b (amb)a = am+1b ba = ab |
#9
|
|||
|
|||
เป็นคำตอบที่สุดยอดจริงๆเลยครับ ขอบคุณมากครับ
เห็นที่นี่มีคนเก่งระดับปรมาจารย์อยู่หลายคนก็เลยอยากขอ คำชี้แนะอีกสักข้อนะครับ เป็นข้อที่ผมทำไม่ได้เหมือนกัน ที่ตอนแรกไม่ได้โพสต์เพราะเห็นว่ามี concept เรื่อง order ของ element ใน group อยู่ด้วยซึ่งมันจะเกิน ระดับม.ปลายมากไปหน่อย ให้ G เป็น group และ a, b ฮ G โดยที่ b ไม่ ใช่ identity (นั่นคือ b น 1) และ order ของ a คือ 5 (นั่นคือ a5 = 1 แต่ a, a2, a3, a4 น 1) และ aba-1 = b2 ให้หา order ของ b (นั่นคือ หาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ bn = 1) ข้อนี้ผมทำได้แค่ว่า order ของ b ต้องเป็นเลขคี่ที่มากกว่า 1 เท่านั้นเองครับ |
#10
|
||||
|
||||
จาก aba-1 = b2
\ abma-1 = b2m bm = a-1b2ma bm = a-2b4ma2 bm = a-3b8ma3 bm = a-4b16ma4 bm = a-5b32ma5 bm = b32m b31m = 1 \ order ของ b คือ 31
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#11
|
|||
|
|||
จะเก่งอะไรปานนั้น เนี่ยขนาดเรียนวิศวะยังเก่ง algebra
ขนาดนี้ ถ้าเรียนคณิตศาสตร์โดยตรงต้องรุ่งมากๆแน่เลยครับ ทุกครั้งที่ผมได้แนวคิดจากที่ webboard นี้ผมก็มักจะลอง simplify ต่อ อย่างในข้อนี้ผมเห็นว่าน่าจะ set ให้ m = 1 ไปเลยนะครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
E8 group? | passer-by | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 9 | 18 กุมภาพันธ์ 2008 05:00 |
Group Theory | kanji | พีชคณิต | 3 | 23 กันยายน 2006 21:51 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 15: Group Theory | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 17 | 23 กุมภาพันธ์ 2006 00:14 |
euclidean group คืออะไร? | B&B | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 03 กรกฎาคม 2005 09:11 |
|
|