#1
|
|||
|
|||
พหุนามครับ
กำหนดให้ $c$ เป็นจำนวนตรรกยะ จงแสดงว่า
$x^3-3cx^2-3cx+c=0$ มีรากตรรกยะได้อย่างมาก 1 ตัว ช่วยหน่อยครับ |
#2
|
||||
|
||||
สมมติ $\dfrac{p_1}{q_1},\dfrac{p_2}{q_2}$ เป็นคำตอบที่แตกต่างกันของสมการนี้
โดยที่ $p_1,q_1,p_2,q_2 \in \mathbb{Z}, \gcd(p_1,q_1)=\gcd(p_2,q_2)=1, p_1,p_2 \ge 0$ สมการดังกล่าวสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $c=\dfrac{x^3}{3x^2+3x-1}$ ดังนั้นจะได้ว่า $c=\dfrac{p_1^3}{3p_1^2q_1+3p_1q_1^2-q_1^3}=\dfrac{p_2^3}{3p_2^2q_2+3p_2q_2^2-q_2^3} \quad (\ast )$ จาก $\gcd(p_1^3,3p_1^2q_1+3p_1q_1^2-q_1^3)=\gcd(p_2^3,3p_2^2q_2+3p_2q_2^2-q_2^3)=1, p_1,p_2\ge 0$ จะได้ $p_1=p_2$ กรณี $p_1=p_2=0$ เห็นได้ชัดว่าจริงจึงสมมติ $p=p_1=p_2 \neq 0$ ดังนั้น $(\ast )$ จะเขียนใหม่เป็น $3p^2q_1+3pq_1^2-q_1^3=3p^2q_2+3pq_2^2-q_2^3$ $3p^2(q_1-q_2)+3p(q_1^2-q_2^2)=q_1^3-q_2^3$ จาก $q_1 \neq q_2$, หารด้วย $q_1-q_2$ ตลอด $3p^2+3pq_1+3pq_2=q_1^2+q_1q_2+q_2^2$ ต่อมาจะแสดงว่าสมการ $3x^2+3xy+3xz=y^2+yz+z^2$ มีคำตอบเดียวในจำนวนเต็มคือ $(0,0,0)$ สมมติว่ามีคำตอบอื่นนอกจาก $(0,0,0)$ ให้ $(A,B,C) \neq (0,0,0)$ เป็นคำตอบที่ทำให้ $|A|+|B|+|C|$ มีค่าน้อยที่สุด $3A^2+3AB+3AC=B^2+BC+C^2 \quad ( \ast \ast )$ $3(A+B)(A+C)=B^2+4BC+C^2$ ถ้า $B \not\equiv C \pmod 2$ จะพบว่า $3(A+B)(A+C)$ เป็นคู่ แต่ $B^2+4BC+C^2$ เป็นคี่ ดังนั้น $B \equiv C \pmod 2$ ถ้า $B \equiv C \not\equiv A \pmod 2$ จะพบว่า $3(A+B)(A+C)$ เป็นคี่ แต่ $B^2+4BC+C^2$ เป็นคู่ ดังนั้น $B \equiv C \equiv A \pmod 2$ ถ้า $B \equiv C \equiv A \equiv 1 \pmod 2$ จะพบว่า $4 \mid 3(A+B)(A+C)$ แต่ $B^2+4BC+C^2 \equiv 2 \pmod 4$ ดังนั้น $B \equiv C \equiv A \equiv 0 \pmod 2$ นั่นคือ $2 \mid A, 2 \mid B, 2 \mid C$ แต่ถ้าจัดรูปสมการ $ ( \ast \ast )$ ใหม่จะได้ $3(\frac{A}{2})^2+3(\frac{A}{2} )(\frac{B}{2})+3(\frac{A}{2})(\frac{C}{2})=(\frac{B}{2})^2+(\frac{B}{2})(\frac{C}{2})+(\frac{C}{2})^2$ นั่นคือ $(\frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2})$ เป็นคำตอบของสมการและ $|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|\frac{C}{2}|<|A|+|B|+|C|$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นสมการนี้ $3p^2+3pq_1+3pq_2=q_1^2+q_1q_2+q_2^2$ มีคำตอบเดียวคือ $p=q_1=q_2=0$ เกิดข้อขัดแย้ง
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 05 เมษายน 2016 23:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#3
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ
|
|
|