|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Equation Solving Marathon
ไปเปิดดู Algebra Marathon ของคุณ nooonuii แล้ว มีแต่ Abstract Algebra ซึ่งอยู่ในระดับมหาวิทยาลัย (ไม่แน่ใจว่าปีไหน) ดังนั้นผมขอตั้ง Marathon ในเรื่องพีชคณิตแบบ Elementary ก็แล้วกัน โดยโจทย์ในนี้จะเกี่ยวกับการแก้สมการล้วนๆ ซึ่งผมขอให้เป็นสมการพีชคณิตที่แก้ได้โดยใช้ความรู้ไม่เกินโอลิมปิก หรือถ้า ม.ปลาย ได้ยิ่งดีครับ ส่วนจะซ่อนทริคไว้มากแค่ไหนก็ตามใจเลยครับ และก็จะขอใช้กฎเหมือนเดิมก็คือตั้งคำถามทีละข้อ ใครตอบได้ก็ตั้งข้อต่อไป โดยผมขอเริ่มต้นด้วยโจทย์สมการพหุนาม 1 ข้อ
1. จงแก้สมการ $x^8+2x^7+3x^6+4x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1=0$ แล้วก็ฝากปักหมุดเหมือนเดิมครับ |
#2
|
||||
|
||||
เราว่ากระทู้เก่ามันก็ไม่แอ๊บแต่กขนาดนั้นนะ
จัดรูปได้เป็น $(x^4+x^3+x^2+x+1)^2=0$ คำตอบคือ $x=\omega_5^i$ โดย $\omega_5=cis\frac{2\pi}{5}$ และ $i=1,2,3,4$ 2.จงหาช่วงของค่า $a$ ที่ทำให้สมการ $x(x+1)^3=(2x+a)(x+a-1)$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงทั้งหมดและแตกต่างกัน
__________________
I'm Back 20 เมษายน 2015 19:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#3
|
|||
|
|||
$$x(x+1)^3=(2x+a)(x+a-1)=a^2+(3x-1)a+2x(x-1)$$ $$(a+\dfrac{3x-1}{2})^2=\left[\,\dfrac{(x+1)(2x+1)}{2}\right]^2 $$ $$a=\dfrac{(1-3x)\pm(2x^2+3x+1)}{2}=x^2+1,-x^2-3x$$ จากการที่ $x\in\mathbb{R} $ จะได้ว่า $a\in\mathbb{R} $ และ $$x=\pm\sqrt{a-1},\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-a}$$ จากการการที่ $a$ ทำให้ $x$ แตกต่างกันหมด จะได้ว่า $a\not=\dfrac{13}{8}$ ดังนั้นคำตอบคือ $$\left[1,\dfrac{9}{4}\right]-\left\{\,\dfrac{13}{8}\right\} $$ 3. จงหา $x\in\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{5-x}=5-x^2$ |
#4
|
||||
|
||||
3.วาดกราฟดูก่อนจะมี 2 คำตอบ (บวก 1 ตัว, ลบ 1 ตัว)
พิจารณาในช่วง $x>0$ จะได้ว่า $f(x)=\sqrt{5-x},f^{-1}(x)=5-x^2$ ดังนั้น 2 กราฟนี้ถ้าจะตัดกัน จุดตัดจะอยู่บนเส้นตรง $y=x$ คำตอบหนึ่งจะเป็นคำตอบของสมการ $\sqrt{5-x}=x, \quad x=\dfrac{1}{2}(\sqrt{21}-1)$ พิจาณาช่วง $x<0$ ให้$\sqrt{5-x}=a$ $a^4-10a^2-a+20=0$ $(a^2-a-5)(a^2+a-4)=0$ เมื่อตรวจคำตอบแล้ว $x=\dfrac{1}{2}(1-\sqrt{17})$ เป็นคำตอบ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 24 เมษายน 2015 09:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#5
|
||||
|
||||
4.จงหาคำตอบของสมการ $x^2+\sqrt{x+7}=7$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#6
|
||||
|
||||
$x^2 - 7 = -\sqrt{x+7} $
$x^4 - 14x^2 - x +42 = 0$ $(x-2)(x+3)(x^2-x-7) = 0$ ตรวจสอบแล้วคำตอบคือ $x = 2 , \displaystyle{\frac{1-\sqrt{29} }{2}}$ 5. จงหาคำตอบ($x,y,z \in \mathbb{R} - \{0\}$)ของระบบสมการ $x^6 + 4z^6 \ = 20x^2y^2 + 13y^2z^2 - 78$ $2x^6 + y^6 \ = 5y^2z^2 + 11z^2x^2 - 96$ $3y^6 + 14z^6 = 16z^2x^2 - 2x^2y^2 + 27$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 24 เมษายน 2015 16:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง |
#7
|
||||
|
||||
$a$ ไม่เป็น $1$ กับ $\displaystyle{\frac{9}{4} }$ ด้วยรึป่าวครับ ไม่งั้นก็มีคำตอบซ้ำคือ $0$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$3x^6+4y^6+18z^6+147=18x^2y^2+18y^2z^2+27z^2x^2$ จาก AM-GM $2x^6+2y^6+54\geq 18x^2y^2$ $2y^6+9z^6+12\geq 18y^2z^2$ $9z^6+x^6+81\geq 27x^2z^2$ บวกกันจะได้สมการตามต้องการ โดยเป็นสมการเมื่อ $2x^6=2y^6=54$ (จากอสมการแรก) $2y^6=9z^6=12$ (จากอสมการที่สอง) เราจะได้ว่า $54=12$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ครับ 6. จงแก้สมการ $x^y=z,y^z=x,z^x=y$ โดยที่ $x,y,z\in\mathbb{R}^+$
__________________
I'm Back 27 เมษายน 2015 12:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#9
|
||||
|
||||
$$x^y=z \qquad ...(1)$$ $$y^z=x \qquad ...(2)$$ $$z^x=y \qquad ...(3)$$ ถ้ามีตัวใดตัวหนึ่งเป็น 1 สมมติคือ $x$ จาก $(1)$ ได้ว่า $z=1$ จาก $(3)$ ได้ว่า $y=1$ ถ้าไม่มีตัวใดเป็น 1 แทนค่า $y$ จาก $(3)$ ลงใน $(2)$ ได้ว่า $z^{xz} = x$ แล้วแทนค่า $z$ จาก $(1)$ ได้ว่า $x^{xyz} = x$ จาก $x\not= 1$ ได้ว่า $xyz = 1$ กรณีที่1 มีตัวเดียวน้อยกว่า1 สมมติคือ $x$ จะได้ $y>1 , z>1$ ดังนั้น $y^z > 1$ ขัดแย้งกับ $(2)$ กรณีที่2 มีตัวเดียวมากกว่า1 สมมติคือ $x$ จะได้ว่า $y<1 , z<1$ ดังนั้น $y^z < 1$ ขัดแย้งกับ $(2)$ ดังนั้นคำตอบคือ $x=y=z=1$ 7. จงหาค่า $x \in \mathbb{N} \ , y \in \mathbb{R} -\mathbb{N} $ ซึ่ง $\displaystyle{x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{x}} $ และ $x^y = y^x$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#10
|
||||
|
||||
7. จากสมการแรก เราได้ว่า $(xy+1)(x-y)=0$ นั่นคือ $x=y$ หรือ $xy=-1$
ถ้าหาก $x=y$ จะได้ว่า $y\in\mathbb{N}$ ขัดแย้งกับเงื่อนไขโจทย์ ถ้าหาก $xy=-1$ จากสมการที่สอง เราได้ว่า $x^{-\frac{1}{x}}=(-x^{-1})^x$ หรือก็คือ $x^{-x^{-1}}=(-x)^{-x}$ ถ้าหาก $x$ เป็นเลขคี่ เราจะได้ว่า $x^{-x^{-1}}>0>(-x)^{-x}$ ถ้าหาก $x$ เป็นเลขคู่เราจะได้ว่า $(-x)^{-x}=x^{-x}$ ทำให้ได้ว่า $x^{-x^{-1}}=x^{-x}$ ได้ว่า $-x^{-1}=-x$ หรือก็คือ $x=1$ แต่ว่าทั้งคู่ไม่ใช่จำนวนคู่ จึงไม่เป็นคำตอบของข้อนี้ ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบครับ (หลอกได้เนียนดีครับ เราชอบมาก ) 8. จงแก้สมการ $\sqrt{4-3\sqrt{10-3x} } =x-2$ โดยที่ $x\in\mathbb{R}$
__________________
I'm Back 28 เมษายน 2015 23:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#11
|
||||
|
||||
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 30 เมษายน 2015 19:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง |
#12
|
||||
|
||||
8.
$2+\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x$ $2+\sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{4-...}}}= x $ หาค่าของ $\sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{4-...}}}=1 $ $x=3$ ตั้งต่อเลยครับผมไม่มีโจทย์ |
#13
|
||||
|
||||
9. จงแก้สมการ $8x^3-3x^2-3x-1=0$ ในจำนวนเชิงซ้อน
__________________
I'm Back |
#14
|
||||
|
||||
$9x^3=(x+1)^3$
$\sqrt[3]{9}x=(x+1)(\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i)$ ย้ายข้างสมการหาค่า x ออกมา |
#15
|
||||
|
||||
ไม่เล่นต่อแล้วหรอครับ555(เพิ่งมาเจอกระทู้อ่าครับ555)
__________________
はるこ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Functional Equation Marathon | Pitchayut | พีชคณิต | 57 | 16 เมษายน 2016 17:00 |
The art and craft of problem solving มีแปลแล้วนะครับ | HL~arc-en-ciel | ฟรีสไตล์ | 22 | 18 มิถุนายน 2012 05:56 |
functional equation(Cauchy's equation) and composition function | tukkaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 25 พฤษภาคม 2011 10:53 |
problem-solving math | promath | ฟรีสไตล์ | 3 | 17 พฤษภาคม 2005 23:20 |
Solving Heat equation by Boundary Element Methods | <Musiela> | Calculus and Analysis | 0 | 09 กรกฎาคม 2001 09:34 |
|
|