ช่วยหาคำตอบ Fourier sine กับ การลู่เข้า-ออก ของลำดับให้ทีครับ

[Pinkjell♥Praewii]

1) จงหา Fourier Sine ของ f(x) = cosx , 0 < x < $\pi$ และขยายขอบเขตของฟังก์ชันคู่ให้อยู่ในช่วง ( $-\pi , \pi$ )

2) จงหาว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าเป็นลู่เข้าแบบสมบูรณ์หรือเงื่อนไข


$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(1+lnn)^2}$


3) จงหาว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับไม่เพิ่ม หรือไม่ลด

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n+1} 3^{n+1}}{n!}$


เป็นข้อสอบครับ พอดีทำไม่ได้

เหมือนจะไม่มีปัญหาแต่ทำไปทำมาแล้วมันติด ไม่รู้จะตอบยังไงอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pinkjell♥Praewii

2) จงหาว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าเป็นลู่เข้าแบบสมบูรณ์หรือเงื่อนไข


$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(1+lnn)^2}$


3) จงหาว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับไม่เพิ่ม หรือไม่ลด

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n+1} 3^{n+1}}{n!}$

ขอข้ามข้อ 1 นะครับ เพราะว่าแทนค่าตามสูตรก็น่าจะออกแล้ว

ข้อ 2 อนุกรมนี้ลู่ออกครับ

$\dfrac{1}{1+\ln{n}}\geq\dfrac{1}{2\ln{n}}$ ทุก $n\geq 3$

ดังนั้น

$\dfrac{1}{(1+\ln{n})^2}\geq \dfrac{1}{4(\ln{n})^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~\geq\dfrac{1}{4n\ln{n}}$ ทุก $n\geq 3$

แต่จาก integral test

$\displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \dfrac{1}{n\ln{n}}}$ ลู่ออก

ดังนั้นโดย Comparison test อนุกรมนี้ลู่ออกด้วย

ข้อ 3 หมายถึงลำดับนี้หรือเปล่าครับ $\dfrac{2^{n+1}3^{n+1}}{n!}$

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pinkjell♥Praewii

3) จงหาว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับไม่เพิ่ม หรือไม่ลด

$$\left\{\,\dfrac{2^{n+1}3^{n+1}}{n!}\right\} $$


เป็นข้อสอบครับ พอดีทำไม่ได้

เหมือนจะไม่มีปัญหาแต่ทำไปทำมาแล้วมันติด ไม่รู้จะตอบยังไงอ่ะครับ

ให้ $a_{n}=\dfrac{2^{n+1}3^{n+1}}{n!}$ และ $a_{n+1}=\dfrac{2^{n+2}3^{n+2}}{(n+1)!}$
เนื่องจาก $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{6} \geqslant 1$ ทุก $n \geqslant 5$
ดังนั้น $a_{n} \geqslant a_{n+1}$ เป็นลำดับไม่เพิ่ม

[Pinkjell♥Praewii]

ขอบคุณมากครับ