#1
|
|||
|
|||
ตรีโกณระดับม.5
ไม่ได้เข้ามาสักพักนึงรู้สึกว่าเวปบอร์ดคึกคักขึ้นเยอะจริงๆ
เลยฝากโจทย์ให้เพื่อนๆพี่ๆน้องๆทำกันสนุกๆอีกสักข้อนึง (ไม่รู้จะเคยทำกันยัง) ให้ a,x,y,z เป็นจำนวนจริงซึ่ง (cosx + cosy + cosz)/cos(x + y + z) =(sinx + siny + sinz)/sin(x + y + z) = a จงหาค่าของ cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x) |
#2
|
||||
|
||||
ตอบติดในรูปของ x,y,z,a หรือเปล่าครับ
หรือในรูป a อย่างเดียว หรือมีคำตอบสวย ๆ |
#3
|
||||
|
||||
อ้อ. ผมทำได้ล่ะ ที่แรกคิดว่าจะยุ่งซะอีก
ก็ย้ายข้างเอาส่วนไปคูณกับ a ก็จะได้ 2 สมการ จากนั้นก็จับยกกำลังสองแล้วบวกกัน จัดรูปจะได้ ว่า โจทย์ = (a2 - 3)/2 ราว ๆ นี้ละมั้งครับ
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 06 ธันวาคม 2001 19:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#4
|
|||
|
|||
ที่คุณ gon หามันคือ cos(x-y) + cos(y-z) + cos(z-x)
แต่โจทย์ถาม cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x) คุณ gon รีบทำไปหน่อยป่าว ปล.คำตอบอยู่ในเทอมของ a 07 ธันวาคม 2001 21:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Catt |
#5
|
|||
|
|||
cos(x+t) + cos(y+t) + cos(z+t) = a cos(x+y+z+t)
แทน t = -x, -y, -z แล้วบวกกันหมด จะได้ cos(x+y) + cos(y+z) + cos(x+z) = a |
#6
|
|||
|
|||
ไม่เข้าใจครับ
|
#7
|
|||
|
|||
(1) cos x + cos y + cos z = a cos(x+y+z)
(2) sin x + sin y + sin z = a sin(x+y+z) (1)cos(t) - (2) sin t: cos(x + t) + cos(y + t) + cos(z + t) = a cos(x+y+z+t) t = -x: 1 + cos(y-x) + cos(z-x) = a cos(y+z) t = -y: cos(x-y) + 1 + cos(z-y) = a cos(x+z) t = -z: cos(x - z) + cos(y - z) + 1 = a cos(x+y) บวกกันหมด จะได้ 3 + 2[cos(x-y) + cos(y-z) + cos(z-x)] = a[cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x)] (1)2 + (2)2: 3 + 2[cos(x-y) + cos(y-z) + cos(z-x)] = a2 จึงได้ cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x) = a เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 |
#8
|
|||
|
|||
(ต่อ) ถ้า a = 0 ล่ะ?
เราแสดงได้ไม่ยากว่า x, y และ z จะต้องเรียงตัว ห่างเท่าๆ กันบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งในกรณีเช่นนี้ เราแสดงต่อได้อีกว่า cos(x+y) + cos(y+z) + cos(z+x) = 0 |
#9
|
|||
|
|||
เก่งมากเลยครับ
ขอเสนออีกวิธีล่ะกัน จากโจทย์จะได้ isinx +isiny + isinz = aisin(x+y+z) รวมกับสมการของcosจะได้ e^ix +e^iy + e^iz = ae^i(x+y+z) นำe^i(x+y+z)หารตลอดจะได้ cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x) - i(sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)) = a ฉะนั้น cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x) = a 01 มกราคม 2002 10:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Catt |
#10
|
||||
|
||||
นั่นไงผมว่าแล้วมันต้องคิดง่าย ๆ แบบนี้
|
#11
|
|||
|
|||
สวยงามกว่าที่ผมคิดไว้เยอะ เยี่ยม!
|
#12
|
|||
|
|||
ติดนิดนึง
คือว่าตรงที่ เอา e^i(x+y+z) หารตลอด แล้วจะได้เป็น e^i(-x-y) + e^i(-y-z) + e^i(-z-x) เนื่องจาก cos (-a) = cos a และ sin (-a) = -sin a ดังนั้นจึงได้ cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x)- i[sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)] = a ผมเข้าใจถูกแล้วใช่ไหมครับ |
|
|