|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Last Fermat Theorem
ช่วยตรวจให้หน่อยครับว่าผิดตรงไหน จะได้เอาไปเป็นความคืบหน้าในการทำโครงงาน
ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 แล้วสมการ \(x^n+y^n=z^n\) ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก พิสูจน์ ให้ \(z\) เป็นค่าคงที่ พิจารณาฟังก์ชัน \(f:\mathbf{R}^+\rightarrow \mathbf{R}^+\) โดยที่ \[y=f(x)=\sqrt[n]{z^n-x^n}\] ให้ฟังก์ชัน \(g(x)=x+k\) เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงที่ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ตัดกับ \(f(x)\) ที่จุด \((x_0,y_0)\) เมื่อ \(GCD(x_0,y_0)=1\) เนื่องจาก \[f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=-x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}\] เมื่อ \(h\) มีค่าเล็กมากๆ \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) จะมีค่าเข้าใกล้ \(-x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}\) ดังนั้น \[f(x_0+h) \approx -hx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\] ดังนั้นฟังก์ชัน \(l(h)=-hx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\) เป็นเส้นสัมผัสโดยประมาณที่ดีที่สุดที่จุด \((x_0,y_0)\) เพราะ \(l(h)\) เป็นฟังก์ชันเดียวที่ \(\lim_{h\rightarrow 0} (f(x_0+h)-l(h))=0\) แทน \(h\) ด้วย \(x\) จะได้ฟังก์ชัน \[l(x)=-xx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)=-xx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+\sqrt[n]{z^n-x_0^n}\] หาจุดตัดของฟังก์ชัน \(l(x)\) และ \(g(x)\) โดยการแทนค่า \(y=x+k\) เข้าไปในฟังก์ชัน \(l(x)\) \[\begin{array}{rcl}x+k &=& -xx_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+\sqrt[n]{z^n-x_0^n}\\x(1+x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}) &=& \sqrt[n]{z^n-x_0^n}-k\\x &=& \frac{\sqrt[n]{z^n-x_0^n}-k}{1+x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}}\\&=& \frac{y_0-k}{1+\frac{x_0^{n-1}}{(\sqrt[n]{z^n-x^n})^{n-1}}}\\&=& \frac{y_0-k}{1+\frac{x_0^{n-1}}{y^{n-1}}}\\&=& \frac{y_0^n-ky_0^{n-1}}{y_0^{n-1}+x_0^{n-1}}\end{array}\] เนื่องจาก \(x=x_0\) ดังนั้น \[\begin{array}{rcl}x_0&=&\frac{y_0^n-ky_0^{n-1}}{y_0^{n-1}+x_0^{n-1}}\\x_0(y_0^{n-1}+x_0^{n-1})&=&y_0^n-ky_0^{n-1}\\x_0^n-y_0^n&=&-y_0^{n-1}(k+x_0)\\ y_0-\frac{x_0^n}{y_0^{n-1}}&=&k+x_0\end{array}\] เนื่องจาก \(GCD(x_0,y_0)=1\) และ \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ จะได้ว่าค่า \(x\) หรือค่า \(y\) ของจุดตัดของฟังก์ชัน \(f(x)\) กับฟังก์ชัน \(g(x)\) ไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอ ดังนั้นสมการ \(x^n+y^n=z^n\) ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากกว่า 2 และ \(GCD(x,y,z)=1\) และจากตรงนี้เราก็สามารถสรุปได้ว่าสมการ \(x^n+y^n=z^n\) ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่มากกว่า 2 19 ตุลาคม 2005 11:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณพี่ warut มากครับ
แก้แล้วนะครับ |
#4
|
|||
|
|||
One mistake (and maybe many)! First you assume h to be a small perturbation of x from x_0. Thus you define f as a function of x=x_0+h. But then you set h to be x!!! So the new x(=h) is not same as the variable x in the function y=g(x)=x+k, i.e. you cannot find the intersecting point of g and l by the way you did.
Also you cannot set the new x(=h) to be x_0!!! |
#5
|
|||
|
|||
เป็นโครงงาน ป.ตรี เหรอครับ ถ้าคิดออกและถูกก็ถือว่าเป็นเรื่องใหญ่เลยละครับ อยากเป็นกำลังใจให้ครับ เท่าที่อ่านก็เจอข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ ครับ
1. กราฟผิดครับ กราฟของ y = x + k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวก น่าจะตัดแกน x ที่ -k นะครับ 2. ไม่ทราบว่า z ในฟังก์ชัน f ที่กำหนดให้เป็น constant จะเสียนัยสำคัญหรือไม่ ปัญหาเรื่องของการกำหนดให้ h มีค่าน้อยมาก ลองแก้โดยใช้ Mean Value Theorem ดู ไม่แน่ใจเหมือนกันว่าจะ work หรือไม่
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 20 ตุลาคม 2005 13:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณพี่ๆทั้งสองคนมากเลยครับ
งั้นผมแทน \(h\) ด้วย \(x-x_0\) ได้มั้ยครับ |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#8
|
||||
|
||||
ก็คงเป็นจุดที่ผิดอีกจุดหนึ่งครับ สมการเส้นสัมผัสจริงๆแล้วต้องแทน \(h\) ด้วย \(x-x_0\) อีกที จะได้ \(f(x) \approx -(x-x_0)x_0^{n-1}(z^n-x^n_0)^{(1-n)/n}+f(x_0)\) เมื่อ \(h\) มีค่าเข้าใกล้ \(0 \) นั่นคือ \(x\) มีค่าเข้าใกล้ \(x_0\)
|
#9
|
|||
|
|||
บอกได้คำเดียวครับว่า
การประมาณไม่ใช่วิถีทางของพีชคณิต
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
||||
|
||||
คมมากครับพี่ nooonuii
สรุปก็คือวิธีนี้ไม่ work ใช่ไหมครับ |
#11
|
|||
|
|||
มันก็บอกไม่ได้หรอกครับ เพราะอย่าง Analytic Number Theory เขาก็ใช้ Analysis ในการศึกษา แต่ FLT เนี่ยมันเป็นทฤษฎีที่มีความละเอียดสูงมากแม้แต่วิชาพีชคณิตเองยังเข้าไปจับได้ยากมากๆครับ พี่ยังไม่ได้อ่านอย่างละเอียดเลยยังไม่รู้ว่ามีข้อผิดพลาดตรงไหนบ้าง(ตัวหนังสือค่อนข้างเล็กครับ อ่านไม่ค่อยออก ลองใส่ \Large{} คร่อมทั้งข้อความที่มี Latex ดูครับ จะอ่านได้ง่ายขึ้น)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
ทำไมจึงเรียก Completeness Theorem | rigor | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 6 | 02 กรกฎาคม 2006 16:39 |
Tchebyshev theorem | passer-by | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 11 | 01 กุมภาพันธ์ 2006 23:46 |
Mean Value Theorem | kanji | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 8 | 27 มกราคม 2005 18:06 |
Fundamental Theorem of Calculus .... Not!!! | aaaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 13 | 27 มกราคม 2005 15:36 |
|
|