#121
|
|||
|
|||
รบกวนอนุกรมอีกข้อหนึ่งนะครับ
ถ้าผลบวกอนุกรม $a + 2a^2 + 3a^3 + .......$ เป็น $\frac{3}{4}$ แล้ว $\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \frac{3}{a^3} + ...... + \frac{9}{a^9}$ มีค่า่เท่าใด |
#122
|
||||
|
||||
จาก $a+2a^2+3a^3+...=\dfrac{3}{4}$______(1)
หารด้วย $a$ ตลอดจะได้ว่า $1+2a+3a^2+...=\dfrac{3}{4a}$_______(2) $(2)-(1);$ $ 1+a+a^2+...=\dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{a}-1)$ $\dfrac{1}{1-a}=\dfrac{3}{4}(\dfrac{1-a}{a})$ $3a^2-10a+3=(3a-1)(a-3)=0$ $a=\dfrac{1}{3},3$ แต่ $|r|<1$ ดังนั้นใช้ได้ค่าเดียวคือ $a=3$ ให้ $k=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{a^2}+...+\dfrac{8}{a^8}+\dfrac{9}{a^9}$ $ak=1+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{a^2}+...+\dfrac{9}{a^8}$ $k(a-1)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+...+\dfrac{1}{a^8}-\dfrac{9}{a^9}=-\dfrac{9}{a^9}+\dfrac{1(1-\dfrac{1}{a^9})}{1-\dfrac{1}{a}}=\dfrac{a^9-1}{a^8(a-1)}-\dfrac{a^9}{9}$ $\therefore k=(\dfrac{1}{a-1})(\dfrac{a^9-1}{a^8(a-1)}-\dfrac{9}{a^9})$ แทน $a=\dfrac{1}{3}$ จะได้ $k=\dfrac{3}{4}(2\cdot 3^{11}- 3^{9} +1)$ ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
22 กรกฎาคม 2010 19:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
#123
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#124
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ เว็ปนี้รวมเซียนเลย เซียนแต่ละคนก็เทพๆทั้งนั้น จะผิดได้อย่างไรครับ
22 กรกฎาคม 2010 18:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tongkub |
#125
|
||||
|
||||
เอ่อ จริงด้วยครับ ขอบคุณมากครับ
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#126
|
|||
|
|||
[quote=poper;93696]
อ้างอิง:
ให้ $b_n=a_{n+1}-a_n$ $c_n=b_{n+1}-b_n$ เนื่องจาก $a_n$ เป็นลำดับสองชั้น $c_n$ จะเป็นค่าคงที่ ดังนั้น $c_n=c_1=b_2-b_1=a_3-2a_2+a_1$ จึงได้ $b_{n+1}=b_n+a_3-2a_2+a_1$ $b_n=b_{n-1}+a_3-2a_2+a_1$ $\vdots$ $b_2=b_1+a_3-2a_2+a_1$ บวกทุกสมการเข้าด้วยกันแล้วตัดทอนส่วนที่เหมือนกันจะได้ $b_{n+1}=b_1+n(a_3-2a_2+a_1)$ $~~~~~=(a_2-a_1)+n(a_3-2a_2+a_1)$ $~~~~~=na_3-(2n-1)a_2+(n-1)a_1$ ดังนั้น $a_{n+2}=a_{n+1}+na_3-(2n-1)a_2+(n-1)a_1$ $a_{n+1}=a_n+(n-1)a_3-(2n-3)a_2+(n-2)a_1$ $\vdots$ $a_{4}=a_3+2a_3-3a_2+a_1$ บวกทุกสมการเข้าด้วยกันแล้วตัดทอนส่วนที่เหมือนกันจะได้ $a_{n+2}=a_3+\Big(\dfrac{n(n+1)}{2}-1\Big)a_3+(n^2-1)a_2+\dfrac{n(n-1)}{2}a_1$ สรุปเป็นสูตรได้ว่า $$a_{n+2}=\dfrac{n(n+1)}{2}a_3-(n-1)(n+1)a_2+\dfrac{n(n-1)}{2}a_1$$ ตัวอย่าง สมมติลำดับคือ $1,1,3,7,13,21,...$ ลำดับผลต่างชั้นแรกเป็น $0,2,4,6,8,...$ ลำดับผลต่างชั้นที่สองเป็น $2,2,2,2,...$ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับสองชั้น จึงได้ว่า $a_{n+2}=\dfrac{3n(n+1)}{2}-(n-1)(n+1)+\dfrac{n(n-1)}{2}$ $~~~~~~=n^2+n+1$ ดังนั้น $a_n=n^2-3n+3$ |
#127
|
||||
|
||||
จงหาผลบวกในรูปแบบทั่วไปจนถึง $n$
$ 3+7+14+24+37... $ โดย $a_1 = 3 , a_2 = 7 , a_3 = 14 $ เข้ารูปแบบสมการ $y=ax^2+bx+c$ $3 = a+b+c$ $7 = 4a+2b+c$ $14 = 9a+3b+c$ แล้วก็แก้สมการ หาค่า $a,b,c$ ตอบ $\sum_{x=1}^{n} (\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{1x}{2} + 2 )$ อันนี้คือ ลำดับ 2 ชั้นรึเปล่าอะ
__________________
Fortune Lady
|
#128
|
||||
|
||||
ผมต้องขอบคุณแทนคุณpoperด้วยครับ
คุณnooonui พอดีคุณpoper อยากได้บทพิสูจน์กรณีที่ n=3 ขึ้นไป ว่าผลต่างอันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่หรือไม่ ผมคงต้องรบกวนคุณnooonui แสดงวรยุทธ์ด้วยนะครับ |
#129
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$4,7,10,13,...$ ถ้าทำแบบเดิมอีกรอบจะได้ $3,3,3,...$ ซึ่งคงที่ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับสองชั้น |
#130
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลำดับ $k$ ชั้นจะมีสูตรในรูปพหุนามกำลัง $k$ อันนี้สามารถเลียนแบบวิธีแบบ $2$ ชั้นที่ผมแสดงให้ดูได้ครับ แต่คงไม่แสดงให้ดูนะครับ เพราะมันยาวและยุ่งกับ index เยอะมาก แต่เอาสูตรมาให้ดูเล่นๆก็แล้วกัน ถ้า $a_0,a_1,a_2,...,a_k,....$ เป็นลำดับ $k$ ชั้นแล้ว $$a_n=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k)}{k!}\Big[\sum_{j=0}^k\dfrac{(-1)^{k-j}\binom{k}{j}a_j}{n-j}\Big]$$ สำหรับบทพิสูจน์นั้นเกินม. ปลายไปแล้วล่ะครับ แต่ก็ไม่ยากถ้าอยากทำความเข้าใจ ผมเริ่มต้นการพิสูจน์ด้วย Lagrange Interpolation Polynomial ครับ อยากรู้ว่าคืออะไรลองดูที่นี่ Lagrange Polynomial ตัวอย่าง สมมติลำดับคือ $1,1,3,7,...$ ซึ่งเรารู้แล้วว่าเป็นลำดับสองชั้น โดยที่ $a_0=1,a_1=1,a_2=3$ ดังนั้น $a_n=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2!}\left[\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n-1}+\dfrac{3}{n-2}\right]$ $~~~=n^2-n+1$ สูตรนี้ต่างจากสูตรเดิมเนื่องจากผมเริ่มลำดับใหม่ที่ $a_0$ แทน $a_1$ ครับ 28 ธันวาคม 2011 21:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#131
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ nooonuii และคุณกระบี่ ด้วยครับหายไป 1 วันผมก็ได้วิธีพิสูจน์ง่ายๆมาครับแต่ต้องขยันกันหน่อยครับ
$a_n$ เป็นลำดับ 2 ชั้น ให้ $b_n$ เป็นลำดับของผลต่างชั้นที่ 1 และผลต่างชั้นที่ 2 เป็นค่าคงที่ d จะได้ว่า $a_2-a_1=b_1$ $a_3-a_2=b_2$ $a_4-a_3=b_3$ $\ \ \ \ \ \bullet $ $\ \ \ \ \ \bullet $ $\ \ \ \ \ \bullet $ $a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}$ บวกสมการทั้งหมดจะได้ $$a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$ $b_k=b_1+(k-1)d$ $$a_n=a_1+\frac{n-1}{2}\bigg[2b_1+(n-2)d\bigg]$$ $$2a_n=2a_1+2(n-1)b_1+(n-1)(n-2)d$$ $$=dn^2+(2b_1-3d)n+2(a_1-b_1+d)$$ $$a_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2b_-3d}{2}n+(a_1-b_1+d)$$ ให้ $\frac{d}{2}=A$ ,$\frac{2b_-3d}{2}=B$ ,$(a_1-b_1+d)=C$ ดังนั้น $$a_n=An^2+Bn+c$$ จากวิธีนี้จะเห็นความสัมพันธ์ของ A กับผลต่างอันดับ 2 ด้วยครับ ส่วน 3 ชั้น ทำแล้วก็จะได้กำลัง 3 ครับ แต่ยังไม่ไม่ได้ทำในรูปทั่วไปกำลัง n เลย คุณ nooonuii ก็ให้สูตรมาแล้ว จะพยายามทำความเข้าใจนะครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 23 กรกฎาคม 2010 20:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#132
|
||||
|
||||
ครับ ถ้าเราช่วยกันอย่างนี้จะได้ความรู้มากขึ้นเยอะเลยครับ
และดีกว่ามานั่งถกอะไรเพื่อให้ฮาทั้งขึ้นทั้งล่องมากมายเลยครับ ป.ล. ถ้าเป็นลำดับที่เป็นรูปพหุนามกำลัง n การหาค่าA น่าจะต้องนำค่าผลต่างอันดับที่ n หารด้วย n!ไหมครับ คุณpoper |
#133
|
||||
|
||||
ใช่แล้วล่ะครับ แต่กำลังหาวิธีที่จะแสดง
ว่าลำดับ n ชั้น จะมีพจน์ทั่วไป เป็นพหุนามดีกรี n อยู่ครับ ถ้ามีแนวคิดดีๆก็แชร์กันนะครับ ฮาได้ครับไม่ผิดกฏครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#134
|
||||
|
||||
งั้นปัญหานี้น่าจะช่วยได้ครับ เป็นปรนัยครับ
ถ้า $10<x<100$และ$1<y<5$ ดังนั้นจงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ 1) $2<\frac{x}{y} <100$ 2) $\frac{1}{10} <\frac{y^2}{x} <\frac{1}{4} $ 3) $11< x+y^2 < 125$ 4) $9 < x-y<95$ ข้อใดถูกต้อง ก. ข้อ 1 )เท่านั้นที่ผิด ข. ข้อ 4 ) เท่านั้นที่ผิด ค. ข้อ 2) และ 3) เท่านั้นที่ถูก ง. ข้อ 1) และ 3) เท่านั้นที่ถูก จ. ข้อ 3) และ 4) เท่านั้นที่ถูก ข้อนี้เป็นข้อสอบเอนทรานซ์ปี2523 เมื่อก่อนตอนที่ยังไม่ได้ฮาทั้งขึ้นทั้งล่องผมทำได้ครับ เพราะมี 1 ตัวเลือกเท่านั้นที่ถูกต้อง แต่หลังจากอ่านความเห็นฮาทั้งขึ้นทั้งล่องแล้ว ตอนนี้ไม่เหลือตัวเลือกแล้วครับ |
#135
|
||||
|
||||
ตอบข้อ ง. ใช่มั้ยครับ
แต่ถ้าคิดแบบคุณหยินหยาง จะกลายเป็นว่ามี ข้อ 2 ถูกด้วย ใช่มั้ยครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
แฟนพันธุ์แท้ คณิตศาสตร์ Marathon | nooonuii | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 318 | 01 ตุลาคม 2021 21:29 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Marathon - มัธยมต้น | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 254 | 08 สิงหาคม 2010 20:47 |
Marathon ##วิทย์คำนวณ## | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 24 | 13 พฤษภาคม 2010 21:19 |
Marathon race... | Fearlless[prince] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 14 กุมภาพันธ์ 2008 15:53 |
|
|