|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#106
|
|||
|
|||
29. Compute
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n}\bigg( 1+\frac{1}{2}+\cdots \frac{1}{n} \bigg) $$ The following might help $$ \int_0^x \frac{-\ln(1-t)}{1-t} \,\, dt$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#107
|
||||
|
||||
คำตอบเป็น$\displaystyle{\ln 2+\frac{(\ln 2)^2}{2}}$หรือเปล่าครับถ้าใช่จะมาแสดงวิธีทำ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#108
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\displaystyle{\frac{(\ln 2)^2}{2}}$ should appear in the middle way of solution ,but finally, it will disappear. In fact, it might have many ways to fight this question, but my solution now is to split this series into 2 parts. First part uses hint above and the other part might require $$ \int_0^x \frac{-\ln(1-t)}{t} \,\,dt $$ If you go in right track, the answer will be something multiplied with $\pi^2$ p.s. Practising this question might help , when "JAG-CHA-PHOR-KIJ (PHASE 3) " starts in last week of November 2007. This hint might be applied again.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#109
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\displaystyle{|x|<1\rightarrow\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...,-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...}$ $\displaystyle{\frac{-\ln(1-x)}{1-x}=x\left(1+\left(1+\frac{1}{2}\right)x+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)x^2+...\right)}$ $\displaystyle{S=\int_{0}^{0.5}-\frac{\ln(1-x)}{x(1-x)}dx=\int_{0}^{0.5}-\left[\frac{\ln(1-x)}{1-x}+\frac{\ln(1-x)}{x}\right]dx}$ $\displaystyle{S=\frac{\ln^2 2}{2}-\int_{0}^{0.5}\frac{\ln(1-x)}{x}dx}$ ให้ $\displaystyle{I=-\int_{0}^{0.5}\frac{\ln(1-x)}{x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^22^n}}$ ตันครับไม่รู้อนุกรมนี้แก้ยังไง- -*
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
08 พฤศจิกายน 2007 22:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG |
#110
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\displaystyle{I=-\int_{0}^{0.5}\frac{\ln(1-x)}{x}dx} $ Let $ u= -\ln(1-x) $ and try geometric series of something HOPE YOU CRACK THIS INTEGRATION SUCCESSFULLY KRAB
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#111
|
||||
|
||||
YeeeeeeHaaaaaa...I got it.
Consider $\displaystyle{I(a)=\int_{0}^{a}\frac{-\ln(1-x)}{x}dx}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n^2},\forall a\in(0,1)$ Let $\displaystyle{u=-\ln(1-x)\rightarrow du=\frac{dx}{1-x},x=1-e^{-u}}$ So $\displaystyle{I(a)=\int_{0}^{a}\frac{-\ln(1-x)}{x}dx=\int_{0}^{-\ln(1-a)}\frac{ue^{-u}}{1-e^{-u}}du=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{-\ln(1-a)}ue^{-ku}du}$ $\displaystyle{I(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\left[-\frac{ue^{-ku}}{k}\right]_{0}^{-\ln(1-a)}+\frac{1}{k}\int_{0}^{-\ln(1-a)}e^{-ku}du\right]}$ $\displaystyle{I(a)=-\ln a\ln(1-a)+\sum_{k=1}^{\infty}\left[-\frac{1}{k^2}e^{-ku}\right]_{0}^{-\ln(1-a)}=\frac{\pi^2}{6}-\ln a\ln(1-a)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-a)^k}{k^2}}$ $\displaystyle{\therefore I(a)+I(1-a)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^k}{k^2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-a)^k}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}-\ln a\ln(1-a)}$ Now come back to the question... $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H(n)}{n\cdot 2^n}=\int_{0}^{0.5}\frac{-\ln(1-x)}{x(1-x)}dx=\int_{0}^{0.5}\frac{-\ln(1-x)}{x}dx+\int_{0}^{0.5}\frac{-\ln(1-x)}{1-x}dx}$ $\displaystyle{\therefore\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H(n)}{n\cdot 2^n}=I(0.5)+\int_{0}^{0.5}\ln(1-x)d(\ln(1-x))=\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln^2 2}{2}+\frac{\ln^2 2}{2}=\frac{\pi^2}{12}}$ มาทำต่อจนเสร็จละครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
11 พฤศจิกายน 2007 17:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG |
#112
|
|||
|
|||
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#113
|
||||
|
||||
มาแสดงวิธีทำต่อจนเสร็จละนะครับได้อะไรเยอะเลยครับกับข้อ29นี้
โดยเฉพาะก้อนหลังนี่ไม่คิดเลยครับว่าจะอินทิเกรตออกด้วยวิธีนี้
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#114
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
p.s. hope you can use similar concept to crack another bigger problem in "JACK-CHA-PHOR-KIJ (PHASE 3)" about next 2 weeks
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#115
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เมื่อ Psi(1,x) คือ digamma function และ $$ Psi(1,x)= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#116
|
|||
|
|||
30. ข้อนี้ โจทย์สวยดีครับ
Find $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n ( \ln 2 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}- \cdots -\frac{1}{2n}) $$ p.s. ถ้าจะ prove ว่า convergent ด้วยก็จะดีมากครับ Consider partial sum
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 20 ธันวาคม 2007 22:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#117
|
|||
|
|||
มาเติมโจทย์ครับ
31. จงหาค่าของ $$\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln{n}}{\ln{(n!)}}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#118
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผมใช้ Stirling approximation $ n! \sim \sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#119
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผมใช้อสมการนี้ $$1-\frac{1}{\ln{n}}\leq\frac{\ln(n!)}{n\ln{n}}\leq 1$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#120
|
||||
|
||||
ไม่ทราบว่าอสมการดังกล่าวพิสูจน์ยังไงหรอครับหรือว่าผมพลาดอะไรง่าย ๆ ไปฝากอีกข้อนะครับ
32)จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}}$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | warut | งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 28 เมษายน 2007 00:28 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|