|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#106
|
||||
|
||||
แก้จุดผิดให้ละครับ จริงๆเราก็คงทำไปเรื่อยๆไม่ได้ด้วยนะครับ
คงได้แค่ประมาณอย่างที่คุณ nongtum ว่าแหละครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#107
|
||||
|
||||
103. มีจำนวนจริง x ที่น้อยกว่า 0 และสอดคล้องกับสมการ $2^x=x^2$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#108
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ที่จริงข้อนี้จะตอบง่ายๆว่าวาดกราฟแล้วมันมีจุดตัดในช่วง [-1,0] ก็ได้นะครับ (โปรดดูรูปด้านล่างประกอบ) แต่ผมยังไม่ได้คิดครับว่าจะพิสูจน์ข้อความนี้อย่างไร: หาก $f,g:[0,1]\to[0,1]$ เป็น strictly increasing และ strictly decresing function ตามลำดับ โดยที่อย่างน้อยหนึ่งในสองฟังก์ชัน surjective (ในกรณีนี้ ฟังก์ชันที่ surjective จะต้อง bijective ด้วย) กราฟของสองฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดเดียว ผมคิดว่าจริงๆแล้วใช้แค่คุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลดพิสูจน์ก็น่าจะออก โดยไม่ต้องไปวุ่นวายกับ fixed point theorems แต่ผมอาจผิดก็ได้ แต่จากคำถามดังกล่าว ผมก็ขยายมาเป็นคำถามข้อนี้ครับ: 104. กำหนดกระดานระนาบรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD และเชือกสีแดงและน้ำเงินสองเส้น แต่ละเส้นยาวเท่ากับเส้นแทยงมุมของกระดานสี่เหลี่ยมนี้ ที่ปลายทั้งสองของเชือกแต่ละเส้นมีตะขอติดอยู่ หากกำหนดให้ปลายตะขอด้านหนึ่งของเชือกสีแดงเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน AB อีกปลายเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน CD หากกำหนดให้ปลายตะขอด้านหนึ่งของเชือกสีน้ำเงินเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน AC อีกปลายเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน BD เชือกสีเดียวกันไม่ทับกันเองหรือแนบติดกันเอง เชือกหากไม่ซ้อนกันจะแนบบนระนาบกระดานเสมอ (ไม่มีเชือกลอยได้) เราจะสรุปได้หรือไม่ว่า ไม่ว่าจะวางเชือกสองเส้นตามเงื่อนไขนี้อย่างไรก็ตาม เชือกสองเส้นนี้จะซ้อนกันอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ (มันน่าจะจริงนะครับ แต่ผมนึกไม่ออกว่าจะพิสูจน์ยังไง)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 31 มกราคม 2007 08:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#109
|
|||
|
|||
103. จริง
พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^2 2^{-x}$ จะได้ว่า $f(-1)=2$ และ $f(0) = 0$ โดย Intermediate Value Theorem จะได้ว่ามี $c\in (-1,0)$ ซึ่งทำให้ $f(c) = 1$ นั่นคือ $$c^2=2^c$$ 104. จริง มองสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ให้เป็นเซต $\Delta = \{(s,t)\in\mathbb{R}^2 : 0\leq s,t\leq 1\}$ โดยที่มองด้าน $AC$ ให้เป็นแกน $Y$ และด้าน $CD$ ให้เป็นแกน $X$ (นั่นคือ $C$ เป็นจุดกำเนิด) เพื่อป้องกันปัญหาในเรื่องของการนิยามฟังก์ชัน ผมขออ้างว่า เราสามารถปรับเปลี่ยนเส้นเชือกทั้งสองเส้นให้อยู่ในรูป "กราฟ" ของฟังก์ชันต่อเนื่องได้เสมอ และเนื่องจากเราสนใจแค่การตัดกันของเส้นเชือก (ไม่ต้องการตำแหน่งที่แน่นอนของจุดตัด) กระบวนการนี้จึงไม่ได้เปลี่ยนแปลงคำตอบของปัญหาแต่อย่างใด ดังนั้น เชือกเส้นสีน้ำเงินจะสามารถมองให้อยู่ในรูป $p(t) = (t,f(t))$ สำหรับ $t\in [0,1]$ ในทำนองเดียวกัน เชือกเส้นสีแดงก็สามารถมองให้อยู่ในรูป $q(s)=(g(s),s)$ สำหรับ $s\in [0,1]$ (เชือกเส้นสีแดงพาดในทิศตรงข้ามกับเส้นสีน้ำเงินจึงต้องสลับตำแหน่งของจุดจาก $(s,g(s))$ เป็น $(g(s),s)$ ซึ่งเหมือนกับมองโดเมนให้อยู่บนแกน $Y$ แทนที่จะเป็นแกน $X$) พิจารณาฟังก์ชัน $h:\Delta\to\Delta$ นิยามโดย $h(s,t) = (f(t),g(s))$ เราจะได้ว่า $h$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เนื่องจาก $f,g : [0,1]\to [0,1]$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดย Brouwer Fixed Point Theorem เราจะได้ว่า $h$ มี fixed point นั่นคือ มีจุด $(a,b)\in \Delta$ ซึ่งทำให้ $h(a,b)=(a,b)$ ดังนั้นเราจะได้ว่า $f(b)=a$ และ $g(a)=b$ ซึ่งทำให้เราได้ข้อสรุปว่า $$p(b) = (b,f(b))=(g(a),a) = q(a)$$ เพราะฉะนั้นเชือกทั้งสองเส้นตัดกัน!!!!
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#110
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จริงครับ สมมติให้ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ $x_k\ne y_k$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราให้ $x_k=0$ และ $y_k=2$ ดังนั้น $$\sum_{n=k}^\infty \frac{x_n}{3^n} \le \sum_{n=k+1}^\infty \frac{2}{3^n} = \frac{1}{3^k} < \frac{2}{3^k} \le \sum_{n=k}^\infty \frac{y_n}{3^n} $$ จึงทำให้ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{3^n} \ne \sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{3^n}$$ ป.ล. ผมยังดูไม่ออกเลยครับ ว่าข้อนี้มันเกี่ยวกับ topology ตรงไหน |
#111
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
The Cantor set is homeomorphic to the product space $$\prod_{i=1}^{\infty} \{0,2\}$$ ครับ โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ในหนังสือ Topology : A First Course ของ James. R. Munkres ครับ แต่ผมไม่ได้อ่านเล่มนี้เลยหลังจากเรียนที่เมืองไทยก็เลยงงไปเลยครับ มัวแต่อ่านอะไรยากๆอยู่ เลยได้คะแนนมาแค่ครึ่งเดียวเองครับ ตามเวลาที่กำหนดไว้ในการสอบ โจทย์ข้อนี้ควรคิดให้ได้ภายใน 12 นาที ครับ ซึ่งพอผมเห็นโจทย์ก็เปิดข้ามไปเลยเพราะคิดว่าต้องเสียเวลาคิดนานแน่ๆ สุดท้ายก็ไม่ได้กลับมาคิดอีกเลยเพราะทำข้ออื่นไม่ทัน แต่พอออกมานอกห้องสอบได้ไม่นานก็ดันคิดข้อนี้ออกซะงั้น เซ็งเลย สำหรับวิธีคิดของผมก็คล้ายกับของคุณ Warut มากครับ แต่ของคุณ Warut จะกระชับกว่า ผมเริ่มจากดูที่ตำแหน่งแรกเลยครับ โดยสมมุติว่า $x_1\neq y_1$ ซึ่งก็จะได้ข้อขัดแย้งแบบที่คุณ Warut แสดงให้ดู(ไอเดียเดียวกันครับ) ดังนั้น $x_1=y_1$ จากนั้นผมก็ตัดคู่นี้ออกแล้วไปดูคู่ที่สอง สาม ไปเรื่อยๆ แล้วใช้ induction สรุปเอาครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 02 กุมภาพันธ์ 2007 05:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#112
|
|||
|
|||
อ๋อ...เล่มของ Munkres ผมก็มีครับ แต่ไม่ได้อ่าน (มีไว้ประดับบ้าน ) ว่ากันว่าสำหรับ Topology เล่มนี้อ่านง่ายสุดแล้วใช่เปล่าครับ
ถ้าจะให้ทำได้ใน 12 นาที ก็คงมีทางเดียวคือ เป็นข้อที่เคยทำมาแล้ว และยังจำได้อยู่ คิดสดๆคงยากนะครับ ยกเว้นพวกอัจฉริยะ... |
#113
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้า $0=A+B$ นั่นคือ $B=-A$ เราจะได้ว่า ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน $B$ ก็จะเป็นเมทริกซ์เอกฐานด้วย และถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน $B$ ก็จะเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานด้วย |
#114
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ไม่ทราบว่านี่คือสิ่งที่คุณ nooonuii ต้องการใช่หรือเปล่าครับ |
#115
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#116
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#117
|
|||
|
|||
โอ้ว...ขอบคุณมากครับสำหรับ e-book ดีๆ ยังไงก็ขอ download ไว้ก่อนล่ะ จะอ่านได้-ไม่ได้ จะได้อ่าน-ไม่ได้อ่าน ค่อยมาว่ากันอีกที
กลับมาที่ข้อ 76... ถ้าสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $2\times2$ ขึ้นไป ข้อ 76. เป็นจริงนี่ครับ ให้ $B=\{b_{ij}\}$ และ $C=\{c_{ij}\}$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n\times n$ โดยที่ $n\ge2$ และ $$ b_{ij}= \cases{ 1 & ,i=j=1 \\ 0 & ,\text{ otherwise} }$$ $$ c_{ij}= \cases{ 1 & ,i=j\ne 1 \\ 0 & ,\text{ otherwise} }$$ จะเห็นว่า $B+C=I$ และ $B,C$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (นั่นคือ $\det B=\det C=0$) เพราะมีแถวที่เป็น 0 หมด ดังนั้นถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n\times n$ ใดๆ เราจะได้ว่า $$A=AI=A(B+C)=AB+AC$$ โดยที่ $AB$ และ $AC$ เป็นเมทริกซ์เอกฐานทั้งคู่ (เนื่องจาก $\det AB=\det A\det B=0$ และ $\det AC=\det A\det C=0$) |
#118
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
มิน่าพยายามหาตัวอย่างค้านเท่าไหร่ก็ไม่เจอครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#119
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#120
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Trigonometric Marathon | Mastermander | พีชคณิต | 251 | 24 พฤศจิกายน 2013 21:21 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|