|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#106
|
||||
|
||||
เจอปัญหาน่าสนใจในหนังสือที่เพิ่งยืมจากห้องสมุดมาครับ เลยเอาลองมาให้ทำกัน
หมายเหตุ: จากโจทย์ข้อนี้สามารถแตกเป็นปัญหาใหม่ได้อีกนับสิบข้อแน่ะ ทำได้แล้วจะมาต่อให้นะครับ 26. ให้ $A,B\in Mat_n\mathbb{R},\ A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสสองเมตริกซ์ที่กำหนดโดย $$a_{ij}=(-1)^{\text{max}(i,j)},\ b_{ij}=(-1)^{\text{min}(i,j)},\ i,j=1,2,\dots ,n$$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $$\det A=\det B$$ (Gazeta Mathematica no. 12/1981 problem 19035, proposed by Marius Dadarlat) แถมให้อีกข้อครับ จากเล่มเดียวกัน แต่ไม่ระบุแหล่ง 27. จงแก้สมการ $$4^x9^{\frac1x}+4^{\frac1x}9^x=210$$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 09 มกราคม 2007 05:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#107
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะได้ว่า $det(C) = (-1)^{n(n+1)/2}det(A)$ ให้ $D$ เป็น matrix ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ของ matrix $C^t$ด้วย $(-1)^i$ จะได้ว่า $det(D) = (-1)^{n(n+1)/2}det(C^t) = det(A)$ ต่อไปพิจารณา matrix $E = D^t$ เราจะได้ว่า $$e_{ij} = (-1)^{\max(i,j)+i+j} = (-1)^{2\max(i,j) + \min(i,j)} = (-1)^{\min(i,j)} = b_{ij} $$ เนื่องจาก $\max(i,j) + \min(i,j) = i+j$ ดังนั้น $det(A) = det(B)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#108
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#109
|
||||
|
||||
ขอบคุณที่ขุดกระทู้ครับ นึกว่ามันจะร้างไปซะแล้ว
ข้อ 26 หารตลอดด้วยหก แล้วทำทางขวามือให้เป็นศูนย์โดยใช้ $35=2^3+3^3$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 16 กุมภาพันธ์ 2007 00:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#110
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
แต่ผมมีจุดสงสัยอยู่นิดนึงคือ ถ้าผมคิดไม่ผิด $D=D^t$ อยู่แล้ว เราไม่น่าจะต้องพิจารณา $E=D^t$ อีกนี่ครับ ที่ผมคิดได้คือ จาก $a_{ij}=(-1)^{\max(i,j)}$ ดังนั้น $c_{ij}=(-1)^{\max(i,j)+i}$ และ $C^t= \{ (-1)^{\max(i,j)+j} \}$ เราจึงได้ว่า $d_{ij}=(-1)^{\max(i,j)+i+j}$ |
#111
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#112
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้สังเกตว่า ถ้า $x=r$ เป็นคำตอบของสมการโจทย์แล้ว $x=1/r$ ก็จะเป็นคำตอบด้วย เนื่องจาก $x=2$ เป็นคำตอบอันหนึ่ง เราจึงได้ว่า $x=1/2$ เป็นคำตอบด้วย ถ้าหากเราสามารถแสดงได้ว่า $4^x9^{1/x}+4^{1/x}9^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (strictly increasing function) เมื่อ $x>1$ แล้ว เราจะสรุปได้ว่า สมการโจทย์มีคำตอบเพียง 2 คำตอบเท่านั้นคือ $x=2,1/2$ ต่อจากนี้ไป เราจะพูดถึงกรณีที่ $x>1$ เท่านั้นนะครับ เนื่องจาก $$ 4^x9^{1/x} + 4^{1/x}9^x = 4^{x+1/x} (a^x+a^{1/x}) $$ โดยที่ $a=9/4$ และ $4^{x+1/x}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (เพราะเราทราบว่า $x+1/x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม โดยดูจากค่าของ derivative ของมัน) ดังนั้นจึงเหลือเพียงการแสดงว่า $$ f(x):= a^x+a^{1/x} $$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เนื่องจาก $$f'(x)= \ln a \left( a^x- \frac{a^{1/x}}{x^2} \right) $$ และ $\ln a>0$ และ $$a^x> a^{1/x}> \frac{a^{1/x}}{x^2} $$ เราจึงได้ว่า $f'(x)>0$ นั่นคือ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ซึ่งจะนำเราไปสู่ข้อสรุปที่ต้องการครับ ป.ล. ผมคิดไม่ออกครับว่าจะใช้ hint ที่คุณ nongtum ให้มายังไง เลยทำไปดุ่ยๆแบบนี้ล่ะครับ |
#113
|
|||
|
|||
ขอปลุกกระทู้ด้วยโจทย์ง่ายๆบ้างครับ
28. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ $$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1-x)^3}+\frac{5}{2}=0$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#114
|
|||
|
|||
แปะง่ายๆอีกข้อแล้วกัันครับ
29. Solve for real number $x$ $ 2550^{x^2+x}+\log_{2550} x = 2550^{x+1} $ เปรียบเทียบ $ x^2+x $ และ $x+1$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 07 พฤษภาคม 2007 19:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by เหตุผล: add hint |
#115
|
|||
|
|||
แถมให้อีกข้อครับ เป็นเอกลักษณ์ที่ได้ระหว่างทำการบ้านข้อนึง สวยดีครับ
30. ให้ $x_1,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด จงพิสูจน์ว่า $$\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}+\frac{1}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)}+\cdots+\frac{1}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})} = 0$$ Partial Fraction
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 08 พฤษภาคม 2007 11:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#116
|
||||
|
||||
ขอตอบข้อที่ 28 ครับ
ไม่รู้จะถูกไหม \[ \begin{array}{l} \frac{{(1 - x)^3 + (1 + x)^3 }}{{\left[ {(1 - x)(1 + x)} \right]^3 }} = - \frac{5}{2} \\ \frac{{(1 - x + 1 + x)\left[ {(1 - x)^2 - (1 - x)(1 + x) + (1 + x)^2 } \right]}}{{\left[ {1 - x^2 } \right]^3 }} = - \frac{5}{2} \\ \frac{{2\left[ {(1 - 2x + x^2 ) - (1 - x^2 ) + (1 + 2x + x^2 )} \right]}}{{\left[ {1 - x^2 } \right]^3 }} = - \frac{5}{2} \\ 4\left[ {(1 - 2x + x^2 ) - (1 - x^2 ) + (1 + 2x + x^2 )} \right] = - 5\left[ {1 - x^2 } \right]^3 \\ 4\left[ {3x^2 + 1} \right] = - 5\left[ {1 - x^2 } \right]^3 \\ 12x^2 + 4 = - 5\left[ {1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6 } \right] \\ 12x^2 + 4 = - 5 + 15x^2 - 15x^4 + 5x^6 \\ 5x^6 - 15x^4 + 3x^2 - 9 = 0 \\ 5x^4 (x^2 - 3) + 3(x^2 - 3) = 0 \\ (5x^4 + 3)(x^2 - 3) = 0 \\ Select{\rm Real Number Answer:} \\ {\rm So, consider x}^2 - 3 = 0;x = \pm \sqrt 3 \\ \end{array} \]
__________________
SnC(R) 07 พฤษภาคม 2007 02:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MoDErN_SnC |
#117
|
|||
|
|||
ข้อ 28 ถูกแล้วครับ ข้อนี้ผมคิดโดยใช้เอกลักษณ์ยอดฮิตที่ผมนำมาใช้อยู่บ่อยๆ
สังเกตว่า $(1+x)+(1-x)+(-2)=0$ ดังนั้น $$(1+x)^3 + (1-x)^3 + (-2)^3 = 3(-2)(1-x)(1+x)$$ ทำให้เราสามารถจัดรูปสมการโจทย์ได้เป็น $$5(1-x^2)^3-12(1-x^2)+16=0$$ แต่เราทราบว่าพหุนาม $5t^3-12t+16=(t+2)(5t^2-10t+8)$ มีรากจริงเพียงค่าเดียวคือ $-2$ ดังนั้น $$1-x^2=-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#118
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#119
|
|||
|
|||
คำตอบถูกแล้วล่ะครับคุณ kanakon แต่ขยายความวิธีทำเพิ่มอีกซักหน่อยก็จะดีนะครับ เพื่อเป็นประโยชน์แก่คนอื่นๆที่มาอ่าน
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#120
|
||||
|
||||
วิธีของพี่ noonuii นี่ฝันมาไกลทีเดียวครับ รู้สึกว่าวิธีของน้อง ModernSnc จะ ธรรมชาติดีกว่า
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra คืออะไร | [C++] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 15 | 30 มกราคม 2021 11:31 |
โจทย์ Algebra | Crazy pOp | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 28 กรกฎาคม 2020 03:14 |
ปัญหา MOdern Algebra อีกแล้วครับ | เรียวคุง | พีชคณิต | 1 | 09 กันยายน 2006 22:02 |
ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra) | เรียวคุง | พีชคณิต | 3 | 06 กันยายน 2006 15:27 |
คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra | M@gpie | พีชคณิต | 4 | 17 พฤษภาคม 2006 10:31 |
|
|