|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#106
|
||||
|
||||
$$ \int_0^{\infty}\sin(x^2)\ dx=\frac{1}{2i}\int_0^{\infty}e^{ix^2}-e^{-ix^2}\ dx $$
Let $\quad ix^2=-t\quad ,dx=e^{i\pi/4}\frac{dt}{2\sqrt{t}}$ then$$\int_0^{\infty}e^{ix^2}\ dx=\frac{e^{i\pi/4}}{2}\int_0^{\infty}e^{-t}t^{-1/2}\ dt=\frac{e^{i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}$$ Next,Let $\qquad ix^2=u\quad ,dx=e^{-i\pi/4}\frac{du}{2\sqrt{u}}$ thus $$\int_0^{\infty}e^{-ix^2}\ dx=\frac{e^{-i\pi/4}}{2}\int_0^{\infty}e^{-u}u^{-1/2}\ du=\frac{e^{-i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}$$ Hence $$\int_0^{\infty}\sin(x^2)\ dx=\frac{1}{2i}\Big(\frac{e^{i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}-\frac{e^{-i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}\Big)$$ $$=\frac{\sqrt\pi}{4i}\bigg(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt2}=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$ ... ทำแบบนี้ได้ไหมครับ ใช้ Gamma function เข้ามาช่วย
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 03 ตุลาคม 2006 11:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#107
|
|||
|
|||
จริงอยู่ ที่วิธีของน้องนำไปสู่คำตอบได้ แต่ผมว่า มันไม่ใช่วิธีที่ reasonable ซักเท่าไหร่ในทางคณิตศาสตร์น่ะครับ คือน้องนำสิ่งที่ทำบน real numberได้ ไปทำกับ complex number เช่น $$\quad ix^2=-t\quad ,dx=e^{i\pi/4}\frac{dt}{2\sqrt{t}}$$
วิธีหนึ่งที่ใช้ solve ข้อนี้ได้ คือใช้ $ f(z)= e^{iz^2} $ แล้วทำ contour integral บนรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง ด้านข้างยาว R และมีมุมยอด 45 องศา จากนั้นค่อยมาแยกวิเคราะห์ integrand บน contour และส่วนจริง /ส่วนจินตภาพ กันทีหลังครับ ถ้ายังไม่ clear ก็ไม่ต้องกังวลครับ เพราะเขาเรียนเรื่องพวกนี้กันปี2 หรือปี 3 โน่นแน่ะ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#108
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
พี่มี E-book Complex analysis ให้โหลดบ้างไหมครับ ผมเจออยู่เว็บนึงไม่รู้ดีไหม http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/ln...der/lnica.html ช่วย comment หน่อยครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#109
|
|||
|
|||
เล่มที่ให้ linkไว้ ก็โอเคในระดับหนึ่งนะครับ ในระยะเริ่มต้นก็ลองอ่านจากพวก complex number's properties , elementary functions of complex variable ,analytic function (holomorphic) แล้วค่อยขยับขยายไปหา contour integration (ที่น้องเอามาถามบ่อยๆในช่วงหลัง) รวมไปถึงเรื่องอื่นๆ
เรื่อง E-book เกี่ยวกับ complex analysis ยอมรับว่าไม่ค่อยได้ download เก็บไว้น่ะครับ จะแนะนำได้ก็ในส่วน textbook มากกว่า เล่มที่ผมชอบที่สุดตั้งแต่เรียนมา ก็คือ เล่มของ Brown & Churchill (Fundamental) กับเล่มของ Priestley (Advance) ครับ แต่ที่จะแนะนำสำหรับผู้เริ่มต้นคงเป็น เล่มของ Brown & Churchill ที่ชื่อว่า Complex Variables and Applications (ลองไปหาแถว shelf ของวิศวะ ที่ CU book (Siam square) ) ราคาประมาณเกือบ 300 บาทครับ แต่ถ้าเป็นตำราไทย ไม่ค่อยเห็นเท่าไหร่นะครับ ที่คุ้นๆ ก็จะแฝงตัวอยู่ใน คณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า ของ เทคโนพระจอมเกล้าธนบุรี ไม่แน่ใจว่ามี version ของอาจารย์จุฬาหรือเปล่า รอคุณ M@gpie มายืนยันดีกว่าครับ ว่าแล้วก็กลับสู่ mode ตรีโกณมิติต่อดีกว่า 43. Simplify $$ \sin\frac{\pi}{14}+6\sin^2\frac{\pi}{14}-8\sin^4\frac{\pi}{14} $$ ข้อนี้ไม่ยากครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#110
|
||||
|
||||
น้อง Mastermander นี่ขยันจริงๆครับ เก่งด้วยสามารถ อ่าน Complex analysis ได้ด้วยตนเอง
แหะๆ มาเข้าเรื่องด้วยคนครับ -หนังสือ ของ Brown & Churchill ที่ชื่อว่า Complex Variables and Applications มีที่ Cu book คับ ตอนนี้รู้สึกจะ 515 บาท(จากปก) แต่เล่มนี้ผมมะเคยอ่านครับ -หนังสือภาษาไทยของอ.จุฬา ก็มี คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้า ของ ศ.มงคล เดชนครินร์ ครับ เพิ่งพิมพ์ปรับปรุงออกมาใหม่ หรือถ้าชอบแนว Real analysis ก็มี คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง ของ อ.วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ ครับ -Ebook ของ Complex ผมพอมีบ้าง ติดต่อได้หลังไมค์ครับ (น่านยังกะดีเจ)
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#111
|
||||
|
||||
แก้ตัวข้อ38ครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#112
|
||||
|
||||
น้อง Timestopper_STG นี่ไม่ยอมแพ้เลย
$$\sin x+6\sin^2x-8\sin^4x=\sin x +\cos 2x - \cos 4x$$ $\sin\frac{\pi}{14}=\cos\frac{3\pi}{7}$ Easy to see that $$\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12$$ 44. Find all solutions (x,y,z) of the system of Equations $$\sin x+\sin y+\sin z=\frac{3}{2}$$ $$\cos x+\cos y+\cos z=\frac{3\sqrt3}{2}$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#113
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แล้วให้ $ A= \frac{\pi}{2^{n-r}} $ จากนั้น เมื่อแทนค่าเข้าไป ก็จะตัดกัน จนเหลือแค่ $ \cot \frac{\pi}{2^n} $ แล้วก็ตามมาด้วย ข้อ 45 Compute $$ \arccos \Bigg ( \frac{1}{\sqrt{1+(2+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})^2 }} \Bigg ) $$ p.s. รู้สึกว่า ข้อ 40 กับ 44 ของน้อง Mastermander ยังไม่มีใครตอบนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#114
|
||||
|
||||
Edit.
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 21 ตุลาคม 2006 18:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#115
|
|||
|
|||
โจทย์ข้อ 40. นี่เอามาจากไหนเหรอครับ ผมคิดว่าเฉลยยังไม่ถูกนะ ยกตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุม 2 มุมเท่ากับ $ 75^\circ $ เราจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ $$ \frac{ 5\sqrt6 +6\sqrt3 -7\sqrt2 -11 }{2} \approx 0.87 > \frac{ \sqrt 3}{2} $$
|
#116
|
||||
|
||||
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#117
|
|||
|
|||
ผมคิดว่า ข้อ 40. ไม่มีคำตอบหรอกครับ โดยใช้ Law of Sines เราสามารถแสดงได้ว่า $$ \frac{ a \sin A + b \sin B + c \sin C}{ a+b+c } = \frac{ \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C }{ \sin A + \sin B + \sin C } $$ ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1 เสมอเพราะ $ 0 < \sin^2 \theta < \sin \theta <1 $ เมื่อ $ 0 < \theta < 180^\circ $ แต่เราสามารถทำให้ expression อันนั้นเข้าใกล้ 1 เท่าไหร่ก็ได้ โดยให้ $ A=B \to 90^ \circ $ ครับ
15 ตุลาคม 2006 05:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#118
|
||||
|
||||
44.Sol
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#119
|
|||
|
|||
นี่ก็อาทิตย์เศษๆแล้ว ขอเฉลยดีกว่า
45. ให้ $$ \theta= \arccos \Bigg ( \frac{1}{\sqrt{1+(2+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})^2 }} \Bigg ) $$ ดังนั้น $ \tan \theta= (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}-1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$ และ $ \tan (45^ {\circ}+\theta)=\frac{1+\tan \theta}{1- \tan \theta}=\frac{\sin 75^{\circ}}{1-\sin 15 ^{\circ}} =\frac{1+\sin 15^{\circ}}{\cos 15 ^{\circ}}$ เพราะ $\frac{1+\sin x}{\cos x}= \tan (45^{\circ}+\frac{x}{2})$ สรุปได้ว่า $ \theta = 7.5 ^{\circ}=\frac{\pi}{24} $ p.s. ใครจะตั้งข้อ 46 ก็ตามสบายเลยนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#120
|
||||
|
||||
46.Evaluate
$$\tan 46^\circ+\tan44^\circ-\tan1^\circ(\tan46^\circ-\tan44^\circ)$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|