|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#91
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โจทย์ที่นี่มีให้ทำเยอะมากๆ แล้วก็ยากมากๆด้วย ทำข้อนึงกินเวลาเป็นชั่วโมงเป็นเรื่องปกติ ยิ่งไปกว่านั้นคนที่เข้ามาเล่นก็น้อยมากๆ ดูอย่างข้อ 68. สิครับ ทั้งๆที่ใช้ความรู้แค่ ม.4 แล้วก็ไม่ได้พลิกแพลงอะไรเลย ก็ยังไม่มีใครมาตอบจนกระทั่งผมมาเก็บกวาด พอดีตอนนี้ผมก็ไปมั่วอยู่กับกระทู้ Differential Equations Marathon เลยยังไม่ได้หันกลับมาเล่นกระทู้นี้เลย (จะว่าไปแล้วกระทู้นั้นร้างมานานกว่าอันนี้อีก) คุณ nooonuii แวะไปดูกระทู้นั้นบ้างก็ดีนะครับ |
#92
|
|||
|
|||
ผมว่าคงมีแต่ผู้เฒ่าอย่างพวกเรานี่แหละครับที่เล่นกันอยู่ ส่วนผู้เด็กเขาคงไม่ค่อยว่างกัน จริงๆแล้วโจทย์ในกระทู้นี้ผมไม่ได้เน้นให้ยากเลยครับ เน้นที่การเข้าใจแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์มากกว่า คำถามบางข้อเป็นคำถามที่ไม่สามารถหาได้ในหนังสือทั่วไปเพราะมันไม่เป็นความจริง โจทย์หลายข้อที่นำมาถามก็สามารถคิดได้ภายในเวลาไม่นานนัก ผมชอบโจทย์ในลักษณะนี้มากเพราะมันช่วยเป็นฐานข้อมูลให้นำไปทำอะไรได้อีกเยอะเลยทีเดียวครับ
แต่ตอนนี้ผมไปติดกระทู้โจทย์ ประกายกุหลาบ อยู่ครับ ยากดีจริงๆ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#93
|
||||
|
||||
88. False$$\sum \frac{n^3}{3^n} \in \rm{Q}$$
92. เห็นแล้วขอเดาว่าจริงก่อน เดี๋ยวจะมาคิดละเอียดภายหลัง 94. เป็นไปได้
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#94
|
||||
|
||||
ทยอยตอบครับ
อ้างอิง:
ข้อ 91 ตัวอย่างค้าน เช่น เมื่อ $a=6,\ b=9$ จะได้ $3|(2\cdot6-7\cdot9),\ 4|(7\cdot6+2\cdot9)$ แต่ $5\not\vert(6^2+9^2)$ ข้อ 92 ให้ $x=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}$ จะได้ $x^3-3x\sqrt[3]{9-\sqrt[3]{9}}-6=0$ นิยาม $f(x)=x^3-3x\sqrt[3]{9-\sqrt[3]{9}}-6$ เพราะ $f(\sqrt[3]{3})<0$ และ $f(3\sqrt[3]{3})>0$ เพราะ $f'(x)>0$ เมื่อ $x$ มากกว่าคำตอบที่เป็นบวกของ $f'(x)=0$ ดังนั้น $f$ strictly increasing ในช่วงนี้ คำตอบของ $f(x)=0$ จึงอยู่ในช่วง $(\sqrt[3]{3},3\sqrt[3]{3})$ หมายเหตุ: คำตอบที่เหลือของ $f(x)=0$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน กราฟจึงตัดแกน $x$ ที่จุดเดียว ข้อ 93 จากโจทย์จะได้ $z\le4x\le6z$ และ $z\le4y\le2z$ ดังนั้น $8z\le x+3y+7z\le12z$ หาก $z<0$ จะได้ $8z<12z\Rightarrow 8>12$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นข้อความโจทย์จึงเป็นจริง ข้อ 94 ตาม Dirichlet's box principle หากตีว่าปีหนึ่งมี 365 วัน หากจะให้ชัวร์ว่ามีอย่างน้อย 20 คนมีวันคล้ายวันเกิดวันเดียวกัน จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อย $365\cdot19+1=6936$ คน ซึ่งถ้าดูจากยอดสมาชิกในหน้าหลักในขณะที่โพสต์คือ 6666 คน (เลขสวยนะ) เราก็บอกได้แค่ว่ามันเป็นไปได้เท่านั้นครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 04 กุมภาพันธ์ 2007 09:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#95
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\displaystyle{\frac{1}{(a+bi)^2}+\frac{1}{(b-ai)^2}=\frac{1}{(a^2-b^2)+2abi}+\frac{1}{(b^2-a^2)-2abi}=0}$ And$\displaystyle{ \sum_{m=-N}^{N} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{(m+ni)^2}}$is symmetry, so this one is true. 92.It obvious that $\sqrt[3]{3}<\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}},\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}<2\sqrt[3]{3}$ and $\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{3}$ So $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 3\sqrt[3]{3}$ is true.
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#96
|
||||
|
||||
มาเล่นปัญหาเบาๆกันบ้างครับ
96. เราสามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าบนระนาบด้วยสันตรงและวงเวียนได้ (ใครจะตอบโปรดหาลิงค์วิธีสร้างและหรือทฤษฎีเพื่อยืนยันคำตอบด้วย) 97. ถ้า $1+2\sqrt{-5}$ เป็นตัวประกอบของ $4+\sqrt{-5}$ จะมีจำนวนเต็มเชิงซ้อนอีกตัว คือ $a+b\sqrt{-5},\ a,b\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $$4+\sqrt{-5}=(1+2\sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5})$$ 98. เราทราบกันดีว่าปัญหาเจ็ดสะพานเมือง Königsberg เป็นปัญหาที่ไม่มีคำตอบ กล่าวคือไม่มีวิธีเดินครบทุกสะพาน สะพานละครั้ง แต่หากเพิ่มหรือลดสะพานในระบบไปหนึ่งสะพาน (สะพานจากเกาะไปยังเกาะ ฝั่งไปหาฝั่งตรงข้าม หรือฝั่งไปหาเกาะ) ปัญหาหกหรือแปดสะพานนี้จะมีคำตอบ (หากจะตอบข้อนี้ โปรดหาลิงค์หรือแสดงวิธีคิด) 99. บนระบบแกนพิกัดสามมิติ (3-dimensional euclidean space) เมื่อไม่พิจารณาขนาด จะมีทรงหลายเหลี่ยมนูนด้านเท่า (convex regular polyhedron เช่น ลูกบาศก์) อยู่ไม่จำกัดแบบ (โปรดหาลิงค์หรือทฤษฎีมายืนยันคำตอบ) 100. ในการแข่งฟุตบอลครั้งหนึ่ง จากจำนวนผู้เข้าชมในสนามทั้งหมด มีเด็กอายุไม่ต่ำกว่าสามขวบแต่ไม่เกินสิบขวบอยู่ 5000 คน โดยปราศจากข้อมูลทางสถิติอื่นๆ เราจะแน่ใจได้หรือไม่ว่าในบรรดาเด็กเหล่านี้ จะมีเด็กเพศเดียวกันอย่างน้อยสองคนที่เกิดในวันและปีเดียวกัน (กล่าวคือ อายุเท่ากัน)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 21 มกราคม 2007 23:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#97
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จะได้ $A = -\frac{1}{2} , B = -\frac{9}{4}, C = -\frac{9}{2} , D = -\frac{33}{8}$ ดังนั้น $\displaystyle{s_ n = \sum_{i=3}^{n}a_i = u_n - u_2} = \frac{1}{3^n}(-\frac{1}{2}n^3 - \frac{9}{4}n^2 - \frac{9}{2}n - \frac{33}{8}) - \frac{1}{9}(-4-9-9-\frac{33}{8})$ นั่นคือ $s_\infty = \lim_{n \to \infty}s_n = \frac{209}{72}$
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 22 มกราคม 2007 08:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#98
|
||||
|
||||
ขุดครับขุด
101.ตามทฤษฎีแล้วเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น3ส่วนด้วยวงเวียน
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#99
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
การพิสูจน์(ละรายละเอียด)ในพีชคณิตนามธรรมอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า $e^{i\varphi}$ เป็นจำนวนอดิศัย และ $e^{i\varphi/3}$ เป็นรากของ $x^3-t\in\mathbb{Q}[t][x]$ โดย Eisenstein จะได้ว่าพหุนามนี้ลดทอนไม่ได้ ทำให้ $\mathbb{Q}[e^{i\varphi/3}]:\mathbb{Q}[e^{i\varphi}]=3$ ในที่สุดก็จะสรุปได้ว่ามันแบ่งไม่ได้ครับ หมายเหตุ: จากคำตอบข้อนี้ หากหาในสองลิงค์ที่ให้อีกหน่อยก็จะเจอคำตอบข้อ 96 ของผมครับ เพราะมันเป็นเรื่องเดียวกัน
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#100
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
--- 102. $$ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} $$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 30 มกราคม 2007 22:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#101
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองดู วิธีการสร้างจากที่นี่ครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon 97. จริง เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าสมการ $$4+\sqrt{-5}=(1+2\sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5})$$ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม $a,b$ ดังนั้นประพจน์ "$1+2\sqrt{-5}$ เป็นตัวประกอบของ $4+\sqrt{-5}$" มีค่าความจริงเป็นเท็จ และเนื่องจาก ประพจน์ในรูป $P\to Q$ จะเป็นจริงเสมอถ้า $P$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อความนี้จึงเป็นจริงครับ 98. ยังไม่ได้คิดแบบละเอียดครับ แต่คิดว่าน่าจะจริง ผมสันนิษฐานจากทฤษฎีที่ว่า เราจะสามารถเดินโดยผ่านเส้นในกราฟเพียงครั้งเดียวได้ ก็ต่อเมื่อ แต่ละจุดมีจำนวนเส้นเชื่อมเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด (แบบนี้จะสามารถเดินจากจุดใดๆแล้วกลับมาที่เดิมได้) หรือ มีจุดเพียงสองจุดเท่านั้นที่มีจำนวนเส้นเชื่อมเป็นจำนวนคี่ (แบบนี้จะต้องเริ่มเดินจากจุดที่มีเส้นเชื่อมเป็นจำนวนคี่เสมอและจะไปจบการเดินที่จุดที่มีเส้นเชื่อมเป็นเลขคี่อีกจุดหนึ่ง) 99. เท็จ ถ้าผมเข้าใจปัญหาไม่ผิด จะมีอยู่เพียงห้าแบบเท่านั้นครับ เราเรียก polyhedron แบบนี้ว่า Platonic Solid ลองดูรูปของพวกเขาทั้งหมดจาก link นี้ครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid ถ้าเราไม่จำกัดหน้าว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดเดียวกันจะมีเพิ่มอีกเยอะเลยครับ ตัวอย่างที่น่าสนใจเช่น Bucky Ball แบบจำลองทางเรขาคณิตของ Buckminster Fullerene ($C_{60}$) ซึ่งเป็นอัญรูปหนึ่งของธาตุคาร์บอน หรือ ใครที่ชอบเล่นฟุตบอล ลองไปนั่งนับดูครับว่าลูกฟุตบอลที่เราเตะกันอยู่ทุกวันประกอบไปด้วยรูปหลายเลี่ยมชนิดใดบ้าง แก้แล้วครับ ขอบคุณคุณ Warut ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 29 มกราคม 2007 12:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#102
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Gauss ภูมิใจกับผลงานนี้มาก เพราะเขาค้นพบตั้งแต่อายุยังไม่ถึง 20 ปี และเป็นการแก้ปัญหาอายุกว่า 2,000 ปี ว่า regular polygon ใดบ้างที่สามารถสร้างได้โดย Euclidean construction ณ ปัจจุบันนี้ ยังเหลืออีกคำถามเดียวที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ ที่ยังไม่มีใครตอบได้ คือ Fermat primes ทั้งหมดคือจำนวนใดบ้าง ถ้าผมจำไม่ผิด หนังสือเล่มยักษ์ที่บันทึกวิธีสร้าง regular 65,537-gon มีเก็บอยู่ที่มหาลัย Göttingen ด้วยครับ ทั้งหมดนี้ผมเขียนจากความทรงจำ (ขี้เกียจค้น ) อาจผิดได้ โปรดเช็คกับแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ประกอบด้วยนะครับ ป.ล. ผมเคยพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ไปบ้างแล้ว ที่นี่ ครับ 11 เมษายน 2007 16:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: Tag Post |
#103
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#104
|
||||
|
||||
สำหรับข้อ101นั้นโดยส่วนตัวผมคิดว่าได้นะครับแต่ไม่รู้ว่าท่านอื่นเห็นว่าอย่างไร
เนื่องจากเราแบ่งมุมออกเป็น2ส่วนเท่ากันได้แล้วและ$\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-...}$ จากข้างบนทำให้ผมสรุปออกมาเป็นทฤษฎีบทได้บทนึงหน่ะครับ ซึ่งกล่าวว่า ทฤษฎีบท สำหรับมุมใดๆที่มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 กับ 180 องศาจะสามารถแบ่งออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันได้เสมอ ด้วยวงเวียนและสันตรงเมื่อ n เป็นจำนวนนับใด ๆ พิสูจน์ ให้ $p_1,p_2,...,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 1 ถึง n ตามลำดับดังนั้น $p_1=2,p_2=3,...$ เนื่องจาก $p_k\pm1$ เป็นจำนวนประกอบที่สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของ $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ ได้ เมื่อ $2\leq k\leq n$ และ$\displaystyle{\frac{1}{p_k}=\frac{1}{p_k\pm1}\pm\frac{1}{(p_k\pm1)^2}+\frac{1}{(p_k\pm1)^3}\pm...}$ แต่เนื่องจากเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น $p_1=2$ ส่วนที่เท่ากันได้อยู่แล้ว ทำให้เราสามารถแบ่งมุมออกเป็น p ส่วนได้เสมอเมื่อ p คือจำนวนเฉพาะใด ๆ แต่เราทราบว่าสำหรับจำนวนประกอบใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ $\therefore$ เราสามารถแบ่งมุมที่มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 กับ 180 องศาออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันได้เสมอ $Q.E.D.$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
29 มกราคม 2007 21:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG |
#105
|
||||
|
||||
ปัญหามันเกิดเมื่อ $k=1$ เพราะ $p_1-1=1$ เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะไม่ได้ และผลรวมด้านล่างจะเป็น $0.5=1-1+1-1+\dots$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
แต่ผมไม่ขัดแนวคิดการ "ประมาณค่า" การแบ่งมุมเป็นสามส่วนที่บอกมาด้านบนนะ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Trigonometric Marathon | Mastermander | พีชคณิต | 251 | 24 พฤศจิกายน 2013 21:21 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|