|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#91
|
|||
|
|||
น่าน...โดนของจริงเข้าให้ซะแล้ว จะลองพยายามคิดดูครับ
ส่วนข้อ 20. นี่ผมกลับไป simplify คำตอบต่ออีกนิดหน่อยนะครับ ไม่ทราบว่าผมทำถูกแล้ว หรือว่าคุณ nooonuii ยังไม่ได้ตรวจครับ |
#92
|
|||
|
|||
ข้อ 20 ถูกแล้วล่ะครับ ตอนแรกงงกับคำตอบในกรณีแรกนิดหน่อยเพราะคำตอบของผมเป็นเวอร์ชันหลัง แต่ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#93
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Suppose that $G$ has no normal Sylow subgroup. So by the third Sylow theorem, the number of Sylow $p$-subgroups is $kp+1$ for some $k\ge1$ with $kp+1\mid pqr$. Since $(p,kp+1)=1$, it follows that $kp+1\mid qr$. Since $kp+1>p>q>r$ and $q,r$ are both prime, we can conclude that $kp+1=qr$. Also by the third Sylow theorem, the number of Sylow $q$-subgroups and Sylow $r$-subgroups is at least $q+1$ and $r+1$, respectively. Since all these Sylow subgroups are cyclic groups of prime orders, the intersection between any two of them is trivial. Therefore, $$|G|\ge qr(p-1)+ (q+1)(q-1)+ (r+1)(r-1) +1$$ $$=pqr+q(q-r)+(r^2-1)>pqr,$$ hence a contradiction. So $G$ must have a normal Sylow subgroup. ป.ล. แล้วข้อ 20. คุณ nooonuii ทำยังไงครับ (อย่าหาว่าเซ้าซี้เลยนะครับ อยากรู้จริงๆ) |
#94
|
|||
|
|||
ข้อ 20 ผมก็ทำคล้ายๆกันครับ แต่ตอนแยกตัวประกอบแต่ละสมการผมจะมองที่ตัวแปร $a,b$ แทน $x,y$ ครับ เพราะทั้งสองสมการเป็นสมการพหุนามกำลังสองในตัวแปร $a,b$ ซึ่งง่ายต่อการแยกตัวประกอบมากกว่า แต่เผอิญโจทย์มันค่อนข้างจะเห็นชัดก็เลยไม่เห็นความแตกต่างระหว่างการแยกตัวประกอบแบบปกติกับวิธีที่ผมใช้ครับ
เสริมข้อ 18' นิดนึงครับ จำนวนของ Sylow $p$-subgroup หาร $qr$ ลงตัวครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#95
|
|||
|
|||
มาเติมโจทย์ให้ครับ
21. Let $G$ be a group of order $p^3$ where $p$ is prime. Show that $G$ has a normal subgroup of order $p$. 22. How many elements of order $7$ must there be in a simple group of order $168$ $?$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#96
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#97
|
|||
|
|||
ที่ผมอยากบอกคือ $n_p$ | $m$ เมื่อ $|G|=p^km,\ (p,m)=1$ ครับ จะทำให้เราหาค่า $n_p$ ได้ง่ายขึ้น
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#98
|
|||
|
|||
อ๋อ...เข้าใจแล้ว ขอบคุณมากครับ ถ้างั้นผมส่งการบ้านต่อเลยนะครับ
อ้างอิง:
If $|Z(G)|=p$, then $Z(G)$ is a normal subgroup of order $p$ of $G$. If $|Z(G)|=p^2$, then $|G/Z(G)|=p$, and hence $G/Z(G)$ is cyclic. Using the fact that if $G/Z(G)$ is cyclic, then $G$ is abelian and $G=Z(G)$, we arrive at a contradiction since $G\ne Z(G)$. So this case is impossible, i.e., $|Z(G)|$ cannot be equal to $p^2$. If $|Z(G)|=p^3$, then $G=Z(G)$, and hence $G$ is abelian. By Cauchy's theorem, $G$ must have a subgroup of order $p$. Therefore this subgroup of $G$ is a normal subgroup of order $p$. อ้างอิง:
|
#99
|
|||
|
|||
ถูกทั้งสองข้อครับ วิธีคิดเหมือนกัน รอบนี้ส่งการบ้านเร็วจังเลยครับ ตรวจแทบไม่ทัน
23. Show that every abelian simple group is finite and has prime order. 24. Let $G$ be a finite abelian group and assume that there is a nontrivial subgroup $H$ such that $H\leq K$ for all nontrivial subgroup $K$ of $G$. Show that $G$ is a cyclic $p$-group. 25. (Hard, UC Berkeley) Let $G$ be a finite group with identity $e$. Suppose for every $a,b\in G$ distinct from $e$, there is an automorphism $\sigma$ of $G$ such that $\sigma(a)=b$. Prove that $G$ is an abelian $p$-group. ชุดนี้เป็นโจทย์ Group Theory (อย่างยาก) ชุดสุดท้ายที่ผมจดไว้แล้วล่ะครับ ที่เหลือเป็น Ring, Field, Module,Linear Algebra, Representation Theory คุณ Warut อยากเล่น field ไหนเชิญ request มาได้เลยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#100
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Let $G$ be an infinite abelian simple group and $a$ be a non-identity element of $G$. It follows that $\langle a\rangle=G$; otherwise, $\langle a\rangle$ would be a proper subgroup of $G$. Since $\langle a\rangle$ is an infinite group, its members: $a^0, a, a^{-1}, a^2, a^{-2}, \dots$ are all distinct. So $\langle a^2\rangle$ is a proper subgroup of $\langle a\rangle=G$, a contradiction. Therefore, any abelian simple group must be finite. Suppose that $G$ is a finite abelian simple group with composite order $n$. So there exists a prime $p<n$ such that $p\mid n$. By Cauchy's theorem, $G$ must have a proper subgroup of order $p$, hence a contradiction. So every abelian simple group is finite and has prime order. ตอนแรกคิดว่าจะทำข้อ 24. ด้วยเลย แต่ไม่เอาละเพราะ เตียบ่อกี้ กำลังจะมา ใครสนใจจะทำเชิญได้นะครับ โจทย์นี้ไม่ได้มีไว้สำหรับผมคนเดียว |
#101
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
If $G$ is a non-trivial finite abelian group that is not a cyclic $p$-group, then by the fundamental theorem of finite abelian groups, it is isomorphic to the direct sum of some two or more non-trivial cyclic groups. By Cauchy's theorem, each of these cyclic groups must have a subgroup of prime order. So $G$ has at least 2 distinct proper subgroups of prime orders, and hence cannot satisfy the required condition. Therefore, $G$ must be a cyclic $p$-group. ถ้าผมให้เหตุผลไม่ดีช่วยแก้ให้ด้วยนะครับ รู้สึกว่ามันอธิบายยากจริงๆ |
#102
|
|||
|
|||
เข้าใจแล้วครับ ไม่มีจุดผิด ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#103
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
03 มกราคม 2007 02:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#104
|
|||
|
|||
ถูกแล้วล่ะครับ ใช้เงื่อนไขโจทย์ได้กระชับดีครับ
ตรงส่วนหลังผมใช้วิธีพิสูจน์ตรงๆซึ่งก็ไม่ยากครับ ให้ $a\in Z(G)-\{e\}$ และ $x,y\in G-\{e\}$ จะได้ว่า มี $\sigma\in Aut(G)$ ซึ่งทำให้ $\sigma(x)=a$ ดังนั้น $\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)=a\sigma(y)=\sigma(y)a=\sigma(y)\sigma(x)=\sigma(yx)$ เพราะฉะนั้น $xy=yx$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#105
|
|||
|
|||
จริงด้วย พิสูจน์ตรงๆก็ได้นี่นา แถมสั้นและง่ายกว่าด้วย แต่ผมคิดไม่ถึงน่ะครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra คืออะไร | [C++] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 15 | 30 มกราคม 2021 11:31 |
โจทย์ Algebra | Crazy pOp | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 28 กรกฎาคม 2020 03:14 |
ปัญหา MOdern Algebra อีกแล้วครับ | เรียวคุง | พีชคณิต | 1 | 09 กันยายน 2006 22:02 |
ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra) | เรียวคุง | พีชคณิต | 3 | 06 กันยายน 2006 15:27 |
คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra | M@gpie | พีชคณิต | 4 | 17 พฤษภาคม 2006 10:31 |
|
|