|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#91
|
|||
|
|||
(จากข้อ 36: สมการ $3\arcsin (3a-4a^3) - \arcsin a = \frac{37 \pi}{21}$)
เฉลยเลยแล้วกันนะครับ ไม่มีใครตอบมาเกือบสัปดาห์แล้ว ให้ $\arcsin a = \theta$ จะได้ว่า $sin\theta = a$ โดยที่ $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ และ $sin 3\theta = 3a - 4a^3$ โดยที่ $3\theta \in \left[-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ พิจารณาได้เป็น 3 กรณี กรณี 1 $3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ (นั่นคือ $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]$) จะได้ว่า $\arcsin(\sin 3\theta)=3\theta$ ดังนั้น $3\arcsin (3a-4a^3)-\arcsin a = 3\arcsin (\sin 3\theta) - \arcsin (\sin \theta) = 8\theta$ จะได้ $\theta = \frac{37\pi}{168} \not \in \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]$ กรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้ กรณี 2 $3\theta \in \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ (นั่นคือ $\theta \in \left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]$) ดังนั้น $\pi - 3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ จะได้ว่า $\arcsin(\sin 3\theta)=\arcsin(\sin(\pi -3\theta))=\pi-3\theta$ ดังนั้น $3\arcsin (3a-4a^3)-\arcsin a = 3\arcsin (\sin 3\theta) - \arcsin (\sin \theta) = 3\pi - 10\theta$ จะได้ $\theta = \frac{13\pi}{105} \not \in \left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]$ กรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้ กรณี 3 $3\theta \in \left[-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)$ (นั่นคือ $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$) ดังนั้น -$\pi - 3\theta \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ จะได้ว่า $\arcsin(\sin 3\theta) = arcsin (\sin (-\pi - 3\theta)) =-\pi -3\theta$ ดังนั้น $3\arcsin (3a-4a^3)-\arcsin a = 3\arcsin (\sin 3\theta) - \arcsin (\sin \theta) = -3\pi -10\theta$ จะได้ $\theta = -\frac{10\pi}{21} \in \left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$ ดังนั้น $\arcsin a = -\frac{10\pi}{21}$ ข้อต่อไปเอาของน้อง Mastermander มาแล้วกันนะครับ ทวนโจทย์ให้อีกรอบนึง 37. จงหาค่าของ $$\frac{\sin^3 9^{\circ}+\cos^3 9^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\sin 54^{\circ}}$$ 11 มิถุนายน 2006 17:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nithi_rung |
#92
|
|||
|
|||
$$ \arcsin (\sin 3\theta) = -3\theta - \pi \text{ when } \theta\in (-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}) $$
ลองแทนในสมการจะได้ $$-9\theta - 3\pi - \theta = \frac{37\pi}{21}$$ $$-10\theta = \frac{100\pi}{21}$$ $$\theta = -\frac{10\pi}{21}$$ ซึ่งเมื่อแทนในสมการเริ่มต้นแล้วเป็นจริง |
#93
|
|||
|
|||
แหะๆ มาโพสต์เวลาใกล้ๆ กันเลยนะครับ
|
#94
|
||||
|
||||
38.
\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n = 1}^{999} {\sin \theta \lambda } = \sum\limits_{n = 1}^{999} {\cos \theta \lambda } \\ {\rm Find}\quad \lambda \\ \end{array} \]
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 05 พฤศจิกายน 2006 21:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#95
|
||||
|
||||
39.
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1-\cos2x)^3}{\sin^6x+\cos^6x}\,dx$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 24 ธันวาคม 2006 11:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#97
|
|||
|
|||
ข้อ 39
เพราะ $ 1-\cos 2x = 2\sin^2 x $ ดังนั้น จัดรูป integrand ใหม่เป็น $$ 8\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^6 x}{\sin^6 x +\cos^6 x} \, dx= 8I $$ แล้วก็ใช้เทคนิคยอดฮิตแบบที่ใช้ในกระทู้ ตะลุยโจทย์อินทิเกรตหาค่า I ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 2p ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#98
|
||||
|
||||
40.ให้ a b c เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม และให้ A B C เป็นมุมตรงข้ามของด้านดังกล่าว
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $$\frac{a\sin A+b\sin B +c\sin C}{a+b+c}$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#99
|
||||
|
||||
41.Evaluate $$\sum_{r=0}^{n-2}2^r\tan\frac{\pi}{2^{n-r}}$$
for integer $n\ge 2$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#100
|
||||
|
||||
38.ตอบแบบนี้รึเปล่าครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#101
|
||||
|
||||
คำตอบคุณ Timestopper_STG ยังไม่ถูกต้องนะครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#102
|
||||
|
||||
แว้กกก...คิดเลขผิดครับจริงๆน่าจะเป็นpi/2000
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#103
|
|||
|
|||
ขอแปะไว้ที่กระทู้นี้แล้วกัน ถึงแม้เป็นโจทย์อินทิเกรต แต่ใช้ตรีโกณมิติเยอะมาก
42. Evaluate $$ \int_0^1 \cos(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}) \,dx $$ p.s รู้นะ...ว่าเอาข้อ 41 มาจากไหน
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#104
|
||||
|
||||
42.$\displaystyle{ \int_0^1 \cos(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}) \,dx =I}$
$\because \cos 2a=2\cos^2a-1$ $$I=\int_0^1 2\cos^2 \arctan\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}-1 \ dx $$ $$I=\int_0^1 (1-x)-1 \ dx =-\int_0^1 x\ dx=-0.5$$ ทำไมข้อนี้ง่ายแปลกๆ ป.ล.ข้อ 41 เอามาจาก.......
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#105
|
|||
|
|||
สงสัยผมจะ intro เข้าโจทย์เว่อร์ไปหน่อย
คือผมก็ตั้งใจให้มันง่ายแปลกๆอย่างที่ว่าแหละครับ จริงๆว่าจะแปะเพิ่มอีกข้อนึง แต่มันเกิน ม.ปลายไปไกลโข เขาเรียกว่า Fresnel integral ครับ นั่นคือ $$\int_0^{\infty} \sin(x^2) \, dx =\int_0^{\infty} \cos(x^2) \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$ ใครสนใจลองศึกษาจากวิชา Complex Analysis นะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|