|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#76
|
|||
|
|||
18. Show that every group of order 2006 has a normal Sylow p-subgroup for some prime $p$ dividing 2006.
19. Let $G$ be a group of order $2006$ and let $H$ be a subgroup of $G$ of index 2. Suppose that $K$ is a subgroup of $G$ of odd order. Show that $K$ is a subgroup of $H$. ป.ล. ข้อ 19 ไม่ต้องใช้ Sylow Theorem ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#77
|
|||
|
|||
เปลี่ยนเป็นโจทย์ธรรมดาบ้างดีกว่าครับ
20. กำหนดให้ $a > b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาจำนวนจริงบวก $x,y$ ที่สอดคล้องระบบสมการ $ x^4 + a^2 = y^4 + 2ax^2 $ $xy(2xy+b) = b^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#78
|
||||
|
||||
transcendencyคือยังไงหรอครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#79
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Facts : 1. จำนวนตรรกยะ เป็น จำนวนเชิงพีชคณิต ดังนั้น จำนวนอดิศัยเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ 2. มีจำนวนอตรรกยะที่เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต เช่น $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt[3]{2},...$, etc. 3. $e,\pi$ เป็นจำนวนอดิศัย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#80
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
From $[G:H]=2$, we know that $|H|=1003$ and $H\triangleleft G$. Since $|G|$ is even, there exists $b\in G$ such that $|b|=2$. But $b\notin H$ because $|H|$ is odd. Therefore, $G=H\cup Hb$ and $H\cap Hb=\emptyset$. Let $a\in Hb$. So $a=hb$ for some $h\in H$. Since $a^2= h(b^{-1}hb) \in H$, we have $a^{2n+1}= \left( (a^2)^n h \right) b \notin H$ for all $n\in \mathbb Z$. In particular, $|a|$ is even because $e\in H$. Since every element of $Hb$ has an even order but every element of $K$ has an odd order, we have $Hb\cap K= \emptyset $. So $K\subseteq H$, and hence $K\le H$. ถ้าเจอที่ผิดทั้งภาษาอังกฤษ และคณิตศาสตร์ช่วยบอกด้วยนะครับ 15 พฤศจิกายน 2006 23:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#81
|
|||
|
|||
วิธีพิสูจน์ข้อ 19 ของคุณ Warut ใช้แค่แนวคิดพื้นฐานจริงๆครับ ของผมใช้วิธีนับขนาดของ subgroup มาช่วยครับ
My Solution : Since $[G : H] = 2$, $H$ is normal in $G$. Thus $HK$ is a subgroup of $G$. Hence, by Lagrange's Theorem, $\displaystyle{ |HK| = \frac{|H||K|}{|H\cap K|} }$ divides $|G|$, so $|K|$ divides $\displaystyle{\frac{|G|}{|H|}\cdot |H\cap K| = 2|H\cap K|}$. Since $|K|$ is odd, we conclude that $|K|$ divides $|H\cap K|$. Thus $|K|=|H\cap K|$. Since $H\cap K \leq H$, we must have $K = H\cap K$ Therefore, $K\leq H$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#82
|
|||
|
|||
อ๋อ... ทำอย่างนี้นี่เอง ขอบคุณมากครับ ผมลืมสูตร $|HK|$ นั่นไปสนิทเลย ทำโจทย์คุณ nooonuii ดีที่สุดก็ตรงที่มีเฉลยให้ดูด้วยนี่แหละ
อ้างอิง:
ผมสามารถไปถึงข้อสรุปเดียวกันได้ แต่คิดว่าเป็นคนละมุมมองกัน ผมคิดอย่างนี้ครับ $H\cap K \subseteq K$ and $|H\cap K| = |K|$ and $K$ finite $ \quad \Rightarrow \quad H\cap K = K$ |
#83
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#84
|
|||
|
|||
อ๋อ... ขอบคุณอีกครั้งครับ
|
#86
|
|||
|
|||
ขอบคุณสำหรับ hint ครับ พอดีตอนนี้ยังไม่ได้กลับมาคิดข้อนี้และข้อ 20. เลย ผมก็ค่อยๆเก็บไปทีละกระทู้ ยังไม่ถึงคิว Algebra Marathon ซักทีครับ ผมประเมินว่าข้อ 18. ง่ายกว่าข้อ 19. มาก เลยยังไม่ได้ลงมือทำ แต่ก็อย่างที่บอกเสมอๆคือ ถ้ายังไม่ได้เขียนออกมาจริงๆ ก็ยังแน่ใจไม่ได้ว่าโจทย์นั้นยากง่ายแค่ไหน จะทำได้จริงรึเปล่า
ถ้ามีคนมาเล่นกันเยอะกว่านี้ก็จะดีครับ จะเห็นว่าพวกโจทย์อสมการจะเงียบสนิทแทบทุกครั้ง (จริงมั้ยครับคุณ Char Aznable) เพราะเป็นเรื่องที่ผมทำไม่ได้แน่ๆ แล้วก็ไม่มีคนอื่นมาเล่นเลยล่ะ |
#87
|
|||
|
|||
โจทย์อสมการผมชอบนะครับ แต่ที่เงียบไปไม่ตอบเพราะว่าคิดแล้วแต่ไม่ออกครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#88
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จากสมการที่ 2 เราจะได้ว่า $xy=-b,b/2$ แต่เราต้องการ $x,y>0$ ดังนั้น $xy=b/2$ จากสมการที่ 1 เราจะได้ว่า $y^4=(x^2-a)^2$ นั่นคือ $x^2\pm y^2=a$ กรณีที่ 1: $x^2+y^2=a$ และ $xy=b/2$ เราได้ $$x= \sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^2-b^2}}{2}} = \frac{\sqrt{a+b}\pm\sqrt{a-b}}{2} $$ $$y= \sqrt{\frac{a\mp\sqrt{a^2-b^2}}{2}} = \frac{\sqrt{a+b}\mp\sqrt{a-b}}{2} $$ กรณีที่ 2: $x^2-y^2=a$ และ $xy=b/2$ เราได้ $$x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$$ $$y=\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$$ สรุปว่ามี 3 คำตอบครับ 26 ธันวาคม 2006 15:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#89
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พิจารณา Sylow 17-subgroup แทน 59 ก็ได้ครับ ผมรู้สึกว่าข้อนี้มันง่ายผิดปกติ ไม่รู้ว่ามีเงื่อนงำอะไรซ่อนอยู่รึเปล่า แล้วนี่ผมก็ยังไม่รู้ว่าที่ทำไปตรงกับแนวของ hint ที่คุณ nooonuii ให้มา (Count number of elements in $G$.) หรือเปล่า แต่โจทย์ข้อนี้ทำให้ผมได้ข้อสังเกตมาอย่างนึงคือ ถ้า $p^n\||G|$ และ $p^n(p+1)>|G|$ แล้ว $G$ จะมี normal Sylow $p$-subgroup ข้อ 18. นี่เป็นโจทย์ข้อสอบ qualify เหรอครับ ทำเหมือนโจทย์โอลิมปิกเลย มีการใช้ปี ค.ศ. ปัจจุบันด้วย อย่างนี้ก่อนเข้าสอบ ก็ต้องเตรียมแยกตัวประกอบไปน่ะสิครับ |
#90
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
18'. Let $G$ be a group of order $pqr$ where $p,q,r$ are distinct primes. Show that G has a normal Sylow subgroup.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra คืออะไร | [C++] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 15 | 30 มกราคม 2021 11:31 |
โจทย์ Algebra | Crazy pOp | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 28 กรกฎาคม 2020 03:14 |
ปัญหา MOdern Algebra อีกแล้วครับ | เรียวคุง | พีชคณิต | 1 | 09 กันยายน 2006 22:02 |
ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra) | เรียวคุง | พีชคณิต | 3 | 06 กันยายน 2006 15:27 |
คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra | M@gpie | พีชคณิต | 4 | 17 พฤษภาคม 2006 10:31 |
|
|